أتقن معادلات الفيزياء والمالية والتفاضل والتكامل والهندسة مع حاسبة مباشرة واشتقاقات وأمثلة محلولة.
الصيغة الجبرية المباشرة لإيجاد جذور أي معادلة من الدرجة الثانية $ax^2 + bx + c = 0$ والمشتقة بطريقة إكمال المربع.
التفكيك الجبري لقوى مقدار ذي حدين $(a + b)^n$ إلى مجموع $n + 1$ من الحدود الموزونة بمعاملات التوافيق $C(n, k)$.
تمثيل الدوال الملساء القابلة للاشتقاق $f(x)$ بالقرب من النقطة $x = a$ كمتسلسلة قوى لا نهائية مبنية من مشتقاتها المتتالية.
تحويل تكامل حاصل ضرب دالتين إلى تكامل أبسط عبر عكس قاعدة مشتقة حاصل الضرب في التفاضل.
تربط بين فرعي التفاضل والتكامل بإثبات أن التكامل المحدد هو العملية العكسية الدقيقة للاشتقاق.
تجمع بين الدوال الأسية المركبة ودالتي الجيب وجيب التمام المثلثيتين على دائرة الوحدة في المستوى المركب.
تحسب الحد النوني والمجموع التراكمي الدقيق لأي متتالية حسابية ذات فرق ثابت $d$ بين حدودها.
الصيغة المغلقة لمجموع أول $n$ حداً في متتالية هندسية بأساس نسبي $r$، مع قانون المجموع اللانهائي المتقارب عندما $|r| < 1$.
مرجع شامل لمتطابقات الضرب والقسمة والقوى وتغيير الأساس عبر اللوغاريتم الطبيعي (ln) والثنائي ($\log_2$) والعشري ($\log_{10}$).
القواعد الأساسية لاشتقاق الدوال المركبة وحاصل الضرب وخارج القسمة ودوال القوى في حساب التفاضل.
يعمم نظرية فيثاغورس على أي مثلث غير قائم الزاوية بإضافة حد الإسقاط $-2ab\cos(C)$.
ينص على أن نسبة طول أي ضلع في المثلث إلى جيب الزاوية المقابلة له ثابتة وتساوي قطر الدائرة المحيطة $2R$.
تحسب مساحة أي مثلث وارتفاعاته ونصفي قطر دائرتيه الداخلية والخارجية مباشرة من أطوال أضلاعه الثلاثة $a, b, c$ دون قياس الزوايا.
حساب المسافة الإقليدية وإحداثيات نقطة المنتصف وميل الخط الواصل بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و$(x_2, y_2)$.
معادلات الهندسة التحليلية للدائرة والقطع الناقص شاملة المركز $(h, k)$ والمحورين الأكبر والأصغر والاختلاف المركزي والبؤرتين والمساحة وتقريب رامانوجان للمحيط.
العلاقة الهندسية الأساسية التي تربط الأضلاع المتعامدة بالوتر في المثلث القائم وبالقطر الداخلي لمتوازي المستطيلات ثلاثي الأبعاد.
قوانين أرخميدس للهندسة الفراغية لمقارنة وحساب الحجم والمساحة السطحية للكرة والأسطوانة القائمة والمخروط.
تربط نصف قطر الدائرة $r$ والزاوية المركزية $\theta$ بطول القوس $s$ ومساحة القطاع وطول الوتر وارتفاع السهم ومساحة القطعة الدائرية.
مرجع مثلثي متكامل لمتطابقات مجموع وفرق زاويتين وضعف الزاوية ونصف الزاوية وتخفيض القوى.
تحسب أقصر مسافة سطحية بين نقطتي خط عرض وخط طول على كرة نصف قطرها $R$ (متوسط نصف قطر الأرض $R = 6,371\text{ km}$).
تحسب القيمة المستقبلية المتراكمة $A$ من رأس المال $P$ المركب $n$ مرة سنوياً بمعدل فائدة اسمي $r$ على مدى $t$ سنوات.
تخصم سلسلة من $n$ دفعات نقدية دورية متساوية $PMT$ بمعدل دوري $r$ لإيجاد قيمتها الإجمالية الحالية $PV$.
النموذج الرياضي الحائز على جائزة نوبل لتسعير عقود الخيارات الأوروبية للشراء والبيع في الأسواق المالية مع معاملات الحساسية.
يربط العائد المتوقع للأصل $E(R_i)$ بالمعدل الخالي من المخاطر $R_f$ ومعامل المخاطر النظامية $\beta_i$ وعلاوة مخاطر سوق الأسهم.
يمزج تكلفة حقوق الملكية $R_e$ وتكلفة الدين بعد الضريبة $R_d(1 - T_c)$ مرجحاً بهيكل رأس المال السوقي للشركة.
تفكك العائد على حقوق الملكية (ROE) إلى ثلاثة محركات تشغيلية: الربحية (هامش صافي الربح)، وكفاءة الأصول (معدل الدوران)، والرافعة المالية.
تقيس صافي القيمة المضافة بأموال اليوم عبر خصم التدفقات النقدية المستقبلية للمشروع $CF_t$ عند معدل الخصم $r$ وطرح الاستثمار الأولي $C_0$.
يقيّم السهم المستقر أو القيمة النهائية للتدفقات النقدية التي تنمو إلى ما لا نهاية بمعدل ثابت $g < r$.
مقياس ويليام شارب الحائز على نوبل لقياس العائد الإضافي للمحفظة مقابل كل وحدة من التقلب الكلي للمخاطر $\sigma_p$.
معادلة نظرية المعلومات لتحديد النسبة المثلى من رأس المال $f^*$ المخصصة لفرصة ذات توقع إيجابي لتعظيم النمو التراكمي طويل الأمد.
يربط القوة المحصلة الخارجية $F_{net}$ المؤثرة على كتلة $m$ بالتسارع $a$ وبمعادلات الحركة الأربع ذات التسارع المنتظم.
قانون التربيع العكسي الحاكم لقوة الجاذبية وتسارع السطح $g$ والسرعة المدارية الدائرية وسرعة الإفلات وقانون كبلر الثالث.
ينص على أنه في الأنظمة المحافظة الخالية من الاحتكاك يظل مجموع الطاقة الحركية $K$ وطاقة الوضع $U$ ثابتاً لا يتغير.
تربط الشغل الميكانيكي $W = F \cdot d \cos(\theta)$ المبذول على جسم بالتغير الدقيق في طاقته الحركية $\Delta K$ وبالقدرة اللحظية $P = F \cdot v$.
تربط دفع القوة خلال الزمن $J = F_{avg} \Delta t$ بتغير كمية الحركة $\Delta p$ وتحكم التصادمات المرنة وشبه المرنة وعديمة المرونة.
المعادلات الأساسية للدوائر الكهربائية التي تربط الجهد $V$ والتيار $I$ والمقاومة $R$ والقدرة $P$ وقوانين العقد والحلقات لكيرشوف.
قانون التربيع العكسي للقوة الكهربائية والمجال الكهربائي $E$ والجهد $V$ بين الشحنات النقطية في الفراغ أو الأوساط العازلة.
يفسر توليد القوة الدافعة الكهربائية في المولدات والمحولات والمحاثات والشواحن اللاسلكية نتيجة تغير التدفق المغناطيسي $\Phi_B$ مع الزمن.
توحد الكهرباء والمغناطيسية والبصريات عبر معادلات ماكسويل الأربع وسرعة انتشار الضوء $c = f\lambda$ وطاقة فوتون بلانك $E = hf$.
معادلات النسبية الخاصة لأينشتاين لمعامل لورنتز $\gamma$ وطاقة السكون $E_0 = mc^2$ والطاقة الحركية النسبية وتمدد الزمن وانكماش الطول.
تعبر عن حفظ الطاقة الميكانيكية على طول خط جريان مستقر لمائع غير قابل للانضغاط، رابطةً بين الضغط الساكن وضغط السرعة وضغط الارتفاع.
النسبة اللابعدية بين قوى القصور الذاتي وقوى اللزوجة للتنبؤ بما إذا كان تدفق المائع صفائحياً هادئاً أو انتقالياً أو مضطرباً.
المعادلة الهيدروليكية العامة لحساب فاقد الطاقة الاحتكاكي وهبوط الضغط على طول الأنابيب المستقيمة المضغوطة.
الحل التحليلي الدقيق لمعادلات نافييه-ستوكس لحساب معدل التدفق الحجمي الصفائحي المستقر داخل أنبوب أسطواني.
معادلة ميكانيكا الإنشاءات التي تحدد حمل الضغط المحوري الأقصى الذي يبدأ عنده العمود النحيف بالانبعاج الجانبي المفاجئ.
العلاقة الأساسية في مقاومة المواد التي تربط عزم الانحناء الداخلي $M$ بتوزيع الإجهاد العمودي عبر مقطع العارضة.
تحسب إجهاد القص الالتوائي وزاوية الليّ في أعمدة نقل الحركة المصمتة أو المجوفة تحت تأثير عزم الدوران.
تحدد تردد نصف القدرة عند $-3\text{ dB}$ وإزاحة الطور وثابت الزمن للاستجابة الأسية في مرشحات الدرجة الأولى التناظرية.
تربط الضغط المطلق والحجم وعدد المولات ودرجة الحرارة بالكلفن للغازات عبر الثابت العام للغازات $R = 8.31446\text{ J/(mol}\cdot\text{K)}$.
تصف الحساسية الأسية لثابت سرعة التفاعل الكيميائي $k$ تجاه حاجز طاقة التنشيط $E_a$ ودرجة الحرارة المطلقة $T$.
تحسب قيمة pH للمحاليل المنظمة المكونة من حمض ضعيف وقاعدته المرافقة وكذلك توازنات البيكربونات الفسيولوجية في الدم.
تحدد جهد القطب والبطارية في الظروف غير القياسية البعيدة عن تركيز 1 مولار، إضافة إلى جهد اتزان الأغشية الحيوية.
المعيار الأساسي في الديناميكا الحرارية الكيميائية لتحديد تلقائية التفاعل وأقصى شغل مفيد وثابت الاتزان عند ثبات الحرارة والضغط.
الحد الأعلى النظري الذي يفرضه القانون الثاني للديناميكا الحرارية على كفاءة أي محرك حراري يعمل بين مستودع ساخن $T_H$ وبارد $T_C$ بالكلفن.
معادلة المطيافية التحليلية التي تربط الامتصاصية الضوئية $A$ خطياً بمعامل الامتصاص المولي $\varepsilon$ وطول المسار الضوئي $l$ والتركيز $c$.
تُحدّث الاحتمال المبدئي $P(A)$ إلى احتمال بعدي دقيق $P(A|B)$ فور ظهور دليل تشخيصي أو تجريبي جديد $B$.
معادلة منحنى الجرس الشهير الناتج عن نظرية النهاية المركزية والمحدد بالمتوسط $\mu$ والانحراف المعياري $\sigma$.
تحسب الاحتمال المتقطع الدقيق لحدوث $k$ نجاحات في $n$ محاولات برنولي مستقلة احتمال النجاح في كل منها $p$.
تنمذج العدد المتقطع للأحداث المستقلة التي تقع خلال فترة زمنية أو مكانية ثابتة بمتوسط معدل حدوث $\lambda$.
تقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية $r \in [-1, +1]$ وتشتق معاملات خط الانحدار الأفضل تمثيلاً للبيانات.
تقيس دقة تقدير متوسط العينة $\bar{x}$ عبر الخطأ المعياري $s/\sqrt{n}$ وتبني فترات الثقة الإحصائية.
المعادلات التأسيسية لنظرية المعلومات لقياس الحد الأدنى من البتات لضغط الرموز دون فقد $H(X)$ وأقصى سعة لقناة اتصال مشوشة $C$.