04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // مراجع قوانين التفاضل والتكامل والمتسلسلات والجبرe^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
صيغة أويلر ومتطابقة أويلر — مرجع الدوال الأسية المركبة
تجمع بين الدوال الأسية المركبة ودالتي الجيب وجيب التمام المثلثيتين على دائرة الوحدة في المستوى المركب.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
الصيغ البديلة
z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)
cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Re(z) | Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ) | dimensionless |
| r | Complex Modulus / Magnitude (r) | 1 |
| theta | Phase Angle θ (radians) | rad |
المدخلات والمعاملات
[1]
[rad]
النتيجة المحسوبة (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))
Re(z) =-1dimensionless
شرح المعادلة وملاحظاتها
- Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
- Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
- Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.
r = 1θ = π rad
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1
→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.
r = 10θ = π/3 rad (60°)
z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)
→ z = 5 + 8.66025i
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة صيغة أويلر ومتطابقة أويلر — مرجع الدوال الأسية المركبة أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة صيغة أويلر ومتطابقة أويلر — مرجع الدوال الأسية المركبة وفق المعادلة e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0 فوريًا داخل متصفحك. تجمع بين الدوال الأسية المركبة ودالتي الجيب وجيب التمام المثلثيتين على دائرة الوحدة في المستوى المركب.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج صيغة أويلر ومتطابقة أويلر — مرجع الدوال الأسية المركبة؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في صيغة أويلر ومتطابقة أويلر — مرجع الدوال الأسية المركبة والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.