04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // فرمول‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال، سری‌ها و اتحادهای جبریe^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
فرمول اویلر و اتحاد اویلر — مرجع تابع نمایی مختلط
پیونددهنده توابع نمایی مختلط با امواج مثلثاتی سینوس و کسینوس روی دایره واحد در صفحه مختلط.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
فرم‌های بازآرایی‌شده
z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)
cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Re(z) | Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ) | dimensionless |
| r | Complex Modulus / Magnitude (r) | 1 |
| theta | Phase Angle θ (radians) | rad |
ورودی‌ها و پارامترها
[1]
[rad]
نتیجه محاسبه (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))
Re(z) =-1dimensionless
توضیحات و پیشینه فرمول
- Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
- Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
- Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.
r = 1θ = π rad
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1
→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.
r = 10θ = π/3 rad (60°)
z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)
→ z = 5 + 8.66025i
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین فرمول اویلر و اتحاد اویلر — مرجع تابع نمایی مختلط چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا فرمول اویلر و اتحاد اویلر — مرجع تابع نمایی مختلط بر اساس رابطه e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0 به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. پیونددهنده توابع نمایی مختلط با امواج مثلثاتی سینوس و کسینوس روی دایره واحد در صفحه مختلط.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای فرمول اویلر و اتحاد اویلر — مرجع تابع نمایی مختلط را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در فرمول اویلر و اتحاد اویلر — مرجع تابع نمایی مختلط پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.