04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 미적분·급수 및 대수 항등식 핵심 공식집e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
오일러 공식 및 오일러 등식 — 복소 지수함수 핵심 정리
복소평면 단위원 위에서 복소 지수함수 e^(iθ)와 사인·코사인 삼각함수 파동이 하나로 이어지는 수학의 아름다운 등식을 설명합니다.
공식 요약
기본 공식
e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
변형 공식
z = r · e^(iθ) = r cos(θ) + i · r sin(θ) (Polar Complex Form)
cos(θ) = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2, sin(θ) = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) (De Moivre's Theorem)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Re(z) | Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ) | dimensionless |
| r | Complex Modulus / Magnitude (r) | 1 |
| theta | Phase Angle θ (radians) | rad |
입력값 및 설정
[1]
[rad]
계산 결과 (Real Component r·cos(θ) of r·e^(iθ))
Re(z) =-1dimensionless
공식 설명 및 배경
- Write the Maclaurin series for e^(iθ) = Σ (iθ)ᵏ / k! = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + θ⁴/4! + iθ⁵/5! − …
- Group all real even-power terms: (1 − θ²/2! + θ⁴/4! − …) = cos(θ).
- Group all imaginary odd-power terms: i · (θ − θ³/3! + θ⁵/5! − …) = i sin(θ).
단계별 풀이 예제
#1: Evaluate e^(iπ) and verify Euler's Identity.
r = 1θ = π rad
e^(iπ) = cos(π) + i sin(π) = −1 + i(0) = −1
→ e^(iπ) = −1 ⇒ e^(iπ) + 1 = 0
#2: Convert the phasor z = 10 e^(i π/3) into rectangular form a + bi.
r = 10θ = π/3 rad (60°)
z = 10 cos(π/3) + i · 10 sin(π/3) = 10(0.5) + i · 10(√3/2)
→ z = 5 + 8.66025i
이 도구가 도움이 되었나요?
자주 묻는 질문 (FAQ)
오일러 공식 및 오일러 등식 — 복소 지수함수 핵심 정리 도구는 어떻게 사용하나요?+
입력값을 넣거나 슬라이더를 조절하면 오일러 공식 및 오일러 등식 — 복소 지수함수 핵심 정리 (공식: e^(iθ) = cos(θ) + i · sin(θ) ⇒ e^(iπ) + 1 = 0) 결과를 브라우저에서 지연 없이 실시간으로 계산하고 시각화합니다. 복소평면 단위원 위에서 복소 지수함수 e^(iθ)와 사인·코사인 삼각함수 파동이 하나로 이어지는 수학의 아름다운 등식을 설명합니다.
오일러 공식 및 오일러 등식 — 복소 지수함수 핵심 정리의 차트나 계산 결과를 저장할 수 있나요?+
네, SVG, PNG, CSV 파일 다운로드 및 워크시트 인쇄를 즉시 지원합니다.
오일러 공식 및 오일러 등식 — 복소 지수함수 핵심 정리의 샘플 데이터를 지우고 빈 상태에서 시작할 수 있나요?+
네. 도구 상단의 초기화/비우기 버튼을 누르면 빈 입력 상태로 전환되며, 언제든지 샘플 데이터를 다시 불러올 수 있습니다.