04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 미적분·급수 및 대수 항등식 핵심 공식집x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
이차방정식 근의 공식 — 근·판별식·꼭짓점 핵심 정리
완전제곱식 변형으로 유도되는 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 근의 공식과 판별식, 포물선 꼭짓점 좌표를 명쾌하게 정리했습니다.
공식 요약
기본 공식
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
변형 공식
Δ = b² − 4ac (Discriminant)
x_vertex = −b / (2a), y_vertex = c − b² / (4a)
x₁ + x₂ = −b / a, x₁ · x₂ = c / a (Vieta's Formulas)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| x₁ | Principal Root (x₁ = (−b + √Δ) / 2a) | dimensionless |
| a | Quadratic Coefficient (a ≠ 0) | 1 |
| b | Linear Coefficient | 1 |
| c | Constant Term (y-intercept) | 1 |
입력값 및 설정
[1]
[1]
[1]
계산 결과 (Principal Root (x₁ = (−b + √Δ) / 2a))
x₁ =3dimensionless
공식 설명 및 배경
- Divide ax² + bx + c = 0 through by a ≠ 0 to normalize the leading term: x² + (b/a)x = −c/a.
- Complete the square by adding (b / 2a)² to both sides: (x + b / 2a)² = (b² − 4ac) / (4a²).
- Take the square root of both sides and isolate x to obtain x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
단계별 풀이 예제
#1: Solve x² − 5x + 6 = 0 for its two real intersections with the x-axis.
a = 1b = −5c = 6
x = (−(−5) ± √((−5)² − 4(1)(6))) / (2 × 1) = (5 ± √(25 − 24)) / 2
→ x₁ = 3, x₂ = 2 (Δ = 1 > 0, two distinct real roots)
#2: Determine the roots of 2x² + 4x − 6 = 0.
a = 2b = 4c = −6
x = (−4 ± √(16 − 4(2)(−6))) / 4 = (−4 ± √64) / 4 = (−4 ± 8) / 4
→ x₁ = 1, x₂ = −3 (Δ = 64)
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자주 묻는 질문 (FAQ)
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