04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 微分積分・級数・代数の公式リファレンスx = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
二次方程式の解の公式 — 解・判別式・頂点リファレンス
平方完成から導かれる二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解の公式と、判別式による解の分類・放物線の頂点座標をわかりやすく解説します。
公式リファレンス
基本公式
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
変形した式
Δ = b² − 4ac (Discriminant)
x_vertex = −b / (2a), y_vertex = c − b² / (4a)
x₁ + x₂ = −b / a, x₁ · x₂ = c / a (Vieta's Formulas)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| x₁ | Principal Root (x₁ = (−b + √Δ) / 2a) | dimensionless |
| a | Quadratic Coefficient (a ≠ 0) | 1 |
| b | Linear Coefficient | 1 |
| c | Constant Term (y-intercept) | 1 |
入力値・パラメータ
[1]
[1]
[1]
計算結果 (Principal Root (x₁ = (−b + √Δ) / 2a))
x₁ =3dimensionless
公式の解説・背景
- Divide ax² + bx + c = 0 through by a ≠ 0 to normalize the leading term: x² + (b/a)x = −c/a.
- Complete the square by adding (b / 2a)² to both sides: (x + b / 2a)² = (b² − 4ac) / (4a²).
- Take the square root of both sides and isolate x to obtain x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
具体的な計算例
#1: Solve x² − 5x + 6 = 0 for its two real intersections with the x-axis.
a = 1b = −5c = 6
x = (−(−5) ± √((−5)² − 4(1)(6))) / (2 × 1) = (5 ± √(25 − 24)) / 2
→ x₁ = 3, x₂ = 2 (Δ = 1 > 0, two distinct real roots)
#2: Determine the roots of 2x² + 4x − 6 = 0.
a = 2b = 4c = −6
x = (−4 ± √(16 − 4(2)(−6))) / 4 = (−4 ± √64) / 4 = (−4 ± 8) / 4
→ x₁ = 1, x₂ = −3 (Δ = 64)
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よくある質問（FAQ）
二次方程式の解の公式 — 解・判別式・頂点リファレンスの使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、二次方程式の解の公式 — 解・判別式・頂点リファレンス（数式: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。平方完成から導かれる二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解の公式と、判別式による解の分類・放物線の頂点座標をわかりやすく解説します。
二次方程式の解の公式 — 解・判別式・頂点リファレンスの計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
二次方程式の解の公式 — 解・判別式・頂点リファレンスのサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。