04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 微分積分・級数・代数の公式リファレンス(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
二項定理の公式 — 展開式・パスカルの三角形・一般項
二項式のべき乗 (a + b)ⁿ を、組み合わせの数 C(n, k) を係数とする n + 1 個の項の和へと展開する代数の基本公式です。
公式リファレンス
基本公式
(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
変形した式
T_{k+1} = C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ (General k-th Indexed Term)
C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) (Binomial Coefficient)
Σ_{k=0..n} C(n, k) = 2ⁿ (Sum of Pascal Row)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| T_{k+1} | Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ | dimensionless |
| a | First Base Term (a) | 1 |
| b | Second Base Term (b) | 1 |
| n | Binomial Exponent (n) | integer |
| k | Term Index (0 ≤ k ≤ n) | integer |
入力値・パラメータ
[1]
[1]
[integer]
[integer]
計算結果 (Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ)
T_{k+1} =216dimensionless
公式の解説・背景
- Multiplying n identical factors (a + b)(a + b)...(a + b) produces terms of the form aⁿ⁻ᵏbᵏ by choosing 'b' from exactly k factors and 'a' from the remaining n − k factors.
- The number of distinct ways to select k factors out of n is the combinatorial coefficient C(n, k) = n! / (k!(n − k)!).
- Pascal's identity C(n, k) + C(n, k−1) = C(n+1, k) enables inductive proof for all integers n ≥ 0.
具体的な計算例
#1: Find the k = 2 middle term in the expansion of (2 + 3)⁴.
a = 2b = 3n = 4k = 2
T₃ = C(4, 2) × 2^(4−2) × 3² = 6 × 4 × 9
→ T₃ = 216 (while full expansion (2+3)⁴ = 5⁴ = 625)
#2: Find the coefficient of x³y² in (2x + y)⁵.
a = 2b = 1n = 5k = 2
Coeff = C(5, 2) × 2³ × 1² = 10 × 8 × 1
→ 80 (so the term is 80x³y²)
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よくある質問（FAQ）
二項定理の公式 — 展開式・パスカルの三角形・一般項の使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、二項定理の公式 — 展開式・パスカルの三角形・一般項（数式: (a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。二項式のべき乗 (a + b)ⁿ を、組み合わせの数 C(n, k) を係数とする n + 1 個の項の和へと展開する代数の基本公式です。
二項定理の公式 — 展開式・パスカルの三角形・一般項の計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
二項定理の公式 — 展開式・パスカルの三角形・一般項のサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。