04 // انٹرایکٹو فارمولا مجموعہ // کیلکولس، سیریز اور الجبری کلیات کی شیٹس(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
مسئلہ دو رقمی (Binomial Theorem) — پھیلاؤ، پاسکل تکون اور عمومی رکن
کسی دو رقمی عبارت (a + b)ⁿ کی قوت کو بائنومیئل عددی سروں C(n, k) کی مدد سے n + 1 رقوم کے مجموعے میں کھولنے کا کلیہ۔
فارمولا حوالہ
بنیادی فارمولا
(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
متبادل شکلیں
T_{k+1} = C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ (General k-th Indexed Term)
C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) (Binomial Coefficient)
Σ_{k=0..n} C(n, k) = 2ⁿ (Sum of Pascal Row)
متغیرات اور اکائیاں
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| T_{k+1} | Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ | dimensionless |
| a | First Base Term (a) | 1 |
| b | Second Base Term (b) | 1 |
| n | Binomial Exponent (n) | integer |
| k | Term Index (0 ≤ k ≤ n) | integer |
ان پٹ اور پیرامیٹرز
[1]
[1]
[integer]
[integer]
حساب کا نتیجہ (Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ)
T_{k+1} =216dimensionless
فارمولے کی وضاحت اور نوٹس
- Multiplying n identical factors (a + b)(a + b)...(a + b) produces terms of the form aⁿ⁻ᵏbᵏ by choosing 'b' from exactly k factors and 'a' from the remaining n − k factors.
- The number of distinct ways to select k factors out of n is the combinatorial coefficient C(n, k) = n! / (k!(n − k)!).
- Pascal's identity C(n, k) + C(n, k−1) = C(n+1, k) enables inductive proof for all integers n ≥ 0.
حل شدہ مثالیں
#1: Find the k = 2 middle term in the expansion of (2 + 3)⁴.
a = 2b = 3n = 4k = 2
T₃ = C(4, 2) × 2^(4−2) × 3² = 6 × 4 × 9
→ T₃ = 216 (while full expansion (2+3)⁴ = 5⁴ = 625)
#2: Find the coefficient of x³y² in (2x + y)⁵.
a = 2b = 1n = 5k = 2
Coeff = C(5, 2) × 2³ × 1² = 10 × 8 × 1
→ 80 (so the term is 80x³y²)
کیا یہ ٹول آپ کے لیے مددگار ثابت ہوا؟
اکثر پوچھے گئے سوالات (FAQ)
مسئلہ دو رقمی (Binomial Theorem) — پھیلاؤ، پاسکل تکون اور عمومی رکن آن لائن ٹول کیسے کام کرتا ہے؟+
معلوم قیمتیں درج کریں یا سلائیڈر حرکت دیں تاکہ آپ کے براؤزر میں فوری طور پر مسئلہ دو رقمی (Binomial Theorem) — پھیلاؤ، پاسکل تکون اور عمومی رکن (مساوات: (a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ) کا حساب اور بصری تجزیہ ہو سکے۔ کسی دو رقمی عبارت (a + b)ⁿ کی قوت کو بائنومیئل عددی سروں C(n, k) کی مدد سے n + 1 رقوم کے مجموعے میں کھولنے کا کلیہ۔
کیا میں مسئلہ دو رقمی (Binomial Theorem) — پھیلاؤ، پاسکل تکون اور عمومی رکن کے نتائج ڈاؤن لوڈ یا پرنٹ کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، آپ فوری طور پر SVG، PNG، CSV ڈاؤن لوڈ کر سکتے ہیں یا ورک شیٹ پرنٹ کر سکتے ہیں۔
کیا میں مسئلہ دو رقمی (Binomial Theorem) — پھیلاؤ، پاسکل تکون اور عمومی رکن میں نمونہ ڈیٹا صاف کر کے نئے سرے سے آغاز کر سکتا ہوں؟+
جی ہاں، ٹول کے اوپر موجود کلیئر بٹن پر کلک کر کے تمام خانے خالی کیے جا سکتے ہیں اور کسی بھی وقت نمونہ ڈیٹا دوبارہ لوڈ کیا جا سکتا ہے۔