04 // Etkileşimli Formül Külliyatı // KALKÜLÜS, SERILER VE CEBIRSEL ÖZDEŞLIK FORMÜLLERI(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
Binom Açılımı Formülü — Pascal Üçgeni ve Genel Terim
(a + b)ⁿ iki terimli kuvvetlerinin, C(n, k) kombinasyon katsayılarıyla ağırlıklandırılmış n + 1 terimin toplamı şeklinde cebirsel açılımı.
Formül Özeti
Ana Formül
(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
Düzenlenmiş Biçimler
T_{k+1} = C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ (General k-th Indexed Term)
C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) (Binomial Coefficient)
Σ_{k=0..n} C(n, k) = 2ⁿ (Sum of Pascal Row)
Değişkenler ve Birimler
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| T_{k+1} | Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ | dimensionless |
| a | First Base Term (a) | 1 |
| b | Second Base Term (b) | 1 |
| n | Binomial Exponent (n) | integer |
| k | Term Index (0 ≤ k ≤ n) | integer |
Girdiler ve Parametreler
[1]
[1]
[integer]
[integer]
Hesaplanan Sonuç (Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ)
T_{k+1} =216dimensionless
Formül Notları ve Açıklama
- Multiplying n identical factors (a + b)(a + b)...(a + b) produces terms of the form aⁿ⁻ᵏbᵏ by choosing 'b' from exactly k factors and 'a' from the remaining n − k factors.
- The number of distinct ways to select k factors out of n is the combinatorial coefficient C(n, k) = n! / (k!(n − k)!).
- Pascal's identity C(n, k) + C(n, k−1) = C(n+1, k) enables inductive proof for all integers n ≥ 0.
Çözümlü Örnekler
#1: Find the k = 2 middle term in the expansion of (2 + 3)⁴.
a = 2b = 3n = 4k = 2
T₃ = C(4, 2) × 2^(4−2) × 3² = 6 × 4 × 9
→ T₃ = 216 (while full expansion (2+3)⁴ = 5⁴ = 625)
#2: Find the coefficient of x³y² in (2x + y)⁵.
a = 2b = 1n = 5k = 2
Coeff = C(5, 2) × 2³ × 1² = 10 × 8 × 1
→ 80 (so the term is 80x³y²)
Bu araç işinize yaradı mı?
Sıkça Sorulan Sorular (SSS)
Binom Açılımı Formülü — Pascal Üçgeni ve Genel Terim aracı nasıl kullanılır?+
Değerleri girin veya kaydırıcıları hareket ettirin; Binom Açılımı Formülü — Pascal Üçgeni ve Genel Terim ((a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ denklemiyle) tarayıcınızda anında hesaplanır ve görselleştirilir. (a + b)ⁿ iki terimli kuvvetlerinin, C(n, k) kombinasyon katsayılarıyla ağırlıklandırılmış n + 1 terimin toplamı şeklinde cebirsel açılımı.
Binom Açılımı Formülü — Pascal Üçgeni ve Genel Terim sonuçlarını ve grafiklerini indirebilir miyim?+
Evet. Sonuçları anında SVG, PNG, CSV olarak indirebilir veya çalışma sayfası olarak yazdırabilirsiniz.
Binom Açılımı Formülü — Pascal Üçgeni ve Genel Terim içindeki örnek verileri temizleyip sıfırdan başlayabilir miyim?+
Evet. Aracın üst kısmındaki temizleme düğmesine tıklayarak tüm alanları boşaltabilir veya istediğiniz zaman örnek veriyi geri yükleyebilirsiniz.