04 // Etkileşimli Formül Külliyatı // KALKÜLÜS, SERILER VE CEBIRSEL ÖZDEŞLIK FORMÜLLERIf(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
Taylor ve Maclaurin Serisi Açılım Formülü — Polinom Yaklaşımı
Türevlenebilir düzgün bir f(x) fonksiyonunu x = a noktası civarında ardışık türevlerinden kurulan sonsuz kuvvet serisiyle ifade eder.
Formül Özeti
Ana Formül
f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
Düzenlenmiş Biçimler
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … (Maclaurin at a = 0)
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …
R_n(x) = [ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n + 1)! ] · (x − a)ⁿ⁺¹ (Lagrange Remainder)
Değişkenler ve Birimler
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| P_n(x) | n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ | dimensionless |
| x | Evaluation Input (x) | 1 |
| n | Polynomial Degree (n terms) | integer |
Girdiler ve Parametreler
[1]
[integer]
Hesaplanan Sonuç (n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ)
P_n(x) =2.716667dimensionless
Formül Notları ve Açıklama
- Require an n-th degree polynomial P_n(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … to match f(x) and its first n derivatives at x = a.
- Differentiating k times and evaluating at x = a eliminates all lower terms and leaves P_n⁽ᵏ⁾(a) = k! · c_k = f⁽ᵏ⁾(a).
- Solving for c_k yields c_k = f⁽ᵏ⁾(a) / k!, and applying the Mean Value Theorem n + 1 times produces the Lagrange error bound.
Çözümlü Örnekler
#1: Approximate e¹ using a 5th-degree Maclaurin polynomial (k = 0 to 5).
x = 1n = 5f⁽ᵏ⁾(0) = 1 for all k
P₅(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120
→ P₅(1) = 2.71667 (exact e = 2.71828, error = 0.00161)
#2: Approximate sin(0.5 rad) using the cubic Taylor polynomial x − x³/6.
x = 0.5 radn = 3
P₃(0.5) = 0.5 − (0.5)³ / 6 = 0.5 − 0.125 / 6
→ 0.47917 (exact sin(0.5) = 0.47943)
Bu araç işinize yaradı mı?
Sıkça Sorulan Sorular (SSS)
Taylor ve Maclaurin Serisi Açılım Formülü — Polinom Yaklaşımı aracı nasıl kullanılır?+
Değerleri girin veya kaydırıcıları hareket ettirin; Taylor ve Maclaurin Serisi Açılım Formülü — Polinom Yaklaşımı (f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ denklemiyle) tarayıcınızda anında hesaplanır ve görselleştirilir. Türevlenebilir düzgün bir f(x) fonksiyonunu x = a noktası civarında ardışık türevlerinden kurulan sonsuz kuvvet serisiyle ifade eder.
Taylor ve Maclaurin Serisi Açılım Formülü — Polinom Yaklaşımı sonuçlarını ve grafiklerini indirebilir miyim?+
Evet. Sonuçları anında SVG, PNG, CSV olarak indirebilir veya çalışma sayfası olarak yazdırabilirsiniz.
Taylor ve Maclaurin Serisi Açılım Formülü — Polinom Yaklaşımı içindeki örnek verileri temizleyip sıfırdan başlayabilir miyim?+
Evet. Aracın üst kısmındaki temizleme düğmesine tıklayarak tüm alanları boşaltabilir veya istediğiniz zaman örnek veriyi geri yükleyebilirsiniz.