04 // Cẩm Nang Công Thức Tương Tác // BẢNG CÔNG THỨC GIẢI TÍCH, CHUỖI SỐ & HẰNG ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐf(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
Công Thức Khai Triển Chuỗi Taylor & Maclaurin — Xấp Xỉ Đa Thức
Biểu diễn một hàm khả vi trơn f(x) lân cận điểm tâm x = a thành chuỗi lũy thừa vô hạn được xây dựng từ các đạo hàm cấp cao của nó.
Bảng công thức
Công thức chính
f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
Các dạng suy ra
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … (Maclaurin at a = 0)
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …
R_n(x) = [ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n + 1)! ] · (x − a)ⁿ⁺¹ (Lagrange Remainder)
Biến số & Đơn vị
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| P_n(x) | n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ | dimensionless |
| x | Evaluation Input (x) | 1 |
| n | Polynomial Degree (n terms) | integer |
Dữ liệu đầu vào & Tham số
[1]
[integer]
Kết quả tính toán (n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ)
P_n(x) =2.716667dimensionless
Ghi chú & Giải thích công thức
- Require an n-th degree polynomial P_n(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … to match f(x) and its first n derivatives at x = a.
- Differentiating k times and evaluating at x = a eliminates all lower terms and leaves P_n⁽ᵏ⁾(a) = k! · c_k = f⁽ᵏ⁾(a).
- Solving for c_k yields c_k = f⁽ᵏ⁾(a) / k!, and applying the Mean Value Theorem n + 1 times produces the Lagrange error bound.
Ví dụ minh họa có lời giải
#1: Approximate e¹ using a 5th-degree Maclaurin polynomial (k = 0 to 5).
x = 1n = 5f⁽ᵏ⁾(0) = 1 for all k
P₅(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120
→ P₅(1) = 2.71667 (exact e = 2.71828, error = 0.00161)
#2: Approximate sin(0.5 rad) using the cubic Taylor polynomial x − x³/6.
x = 0.5 radn = 3
P₃(0.5) = 0.5 − (0.5)³ / 6 = 0.5 − 0.125 / 6
→ 0.47917 (exact sin(0.5) = 0.47943)
Công cụ này có hữu ích với bạn không?
Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)
Làm thế nào để sử dụng công cụ Công Thức Khai Triển Chuỗi Taylor & Maclaurin — Xấp Xỉ Đa Thức?+
Nhập các thông số hoặc kéo thanh trượt để tính toán và mô phỏng Công Thức Khai Triển Chuỗi Taylor & Maclaurin — Xấp Xỉ Đa Thức theo công thức f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ ngay lập tức trên trình duyệt. Biểu diễn một hàm khả vi trơn f(x) lân cận điểm tâm x = a thành chuỗi lũy thừa vô hạn được xây dựng từ các đạo hàm cấp cao của nó.
Tôi có thể tải xuống biểu đồ hoặc kết quả từ Công Thức Khai Triển Chuỗi Taylor & Maclaurin — Xấp Xỉ Đa Thức không?+
Có! Công cụ hỗ trợ tải file SVG, PNG sắc nét, sao chép CSV hoặc in phiếu bài tập ngay lập tức.
Tôi có thể xóa dữ liệu mẫu trong Công Thức Khai Triển Chuỗi Taylor & Maclaurin — Xấp Xỉ Đa Thức để nhập mới từ đầu không?+
Có. Nhấn nút xóa trống ở đầu công cụ để bắt đầu với bảng trống hoàn toàn, hoặc tải lại dữ liệu mẫu bất cứ lúc nào.