04 // 交互式科学公式百科 // 微积分、级数展开与代数恒等式速查f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
泰勒级数与麦克劳林级数展开公式 — 多项式逼近速查
利用函数在中心点 x = a 处的各阶导数，将光滑可微函数 f(x) 近似表示为无穷幂级数。
公式速查卡
核心公式
f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ
变形公式
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … (Maclaurin at a = 0)
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …
R_n(x) = [ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n + 1)! ] · (x − a)ⁿ⁺¹ (Lagrange Remainder)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| P_n(x) | n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ | dimensionless |
| x | Evaluation Input (x) | 1 |
| n | Polynomial Degree (n terms) | integer |
输入数值与参数
[1]
[integer]
计算结果 (n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ)
P_n(x) =2.716667dimensionless
公式说明与推导背景
- Require an n-th degree polynomial P_n(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … to match f(x) and its first n derivatives at x = a.
- Differentiating k times and evaluating at x = a eliminates all lower terms and leaves P_n⁽ᵏ⁾(a) = k! · c_k = f⁽ᵏ⁾(a).
- Solving for c_k yields c_k = f⁽ᵏ⁾(a) / k!, and applying the Mean Value Theorem n + 1 times produces the Lagrange error bound.
分步计算实例
#1: Approximate e¹ using a 5th-degree Maclaurin polynomial (k = 0 to 5).
x = 1n = 5f⁽ᵏ⁾(0) = 1 for all k
P₅(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120
→ P₅(1) = 2.71667 (exact e = 2.71828, error = 0.00161)
#2: Approximate sin(0.5 rad) using the cubic Taylor polynomial x − x³/6.
x = 0.5 radn = 3
P₃(0.5) = 0.5 − (0.5)³ / 6 = 0.5 − 0.125 / 6
→ 0.47917 (exact sin(0.5) = 0.47943)
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