04 // Compêndio Interativo de Fórmulas // FÓRMULAS DE CÁLCULO, SÉRIES E IDENTIDADES ALGÉBRICASf(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ

Fórmula das Séries de Taylor e Maclaurin — Aproximação Polinomial

Representa uma função derivável f(x) nas vizinhanças de um ponto x = a como uma série de potências construída a partir de suas derivadas.

Referência da fórmula

Fórmula principal

f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ

Formas isoladas

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … (Maclaurin at a = 0)

sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …

R_n(x) = [ f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n + 1)! ] · (x − a)ⁿ⁺¹ (Lagrange Remainder)

Variáveis e unidades

Variáveis e unidades — Taylor & Maclaurin Series Expansion Formula — Polynomial Approximation
Symbol	Name	Unit
P_n(x)	n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ	dimensionless
x	Evaluation Input (x)	1
n	Polynomial Degree (n terms)	integer

Entradas e parâmetros

xEvaluation Input (x)[1]

nPolynomial Degree (n terms)[integer]

Resultado calculado (n-th Order Maclaurin Approximation of eˣ)

P_n(x) =2.716667dimensionless

Notas e explicação da fórmula

Require an n-th degree polynomial P_n(x) = c₀ + c₁(x−a) + c₂(x−a)² + … to match f(x) and its first n derivatives at x = a.
Differentiating k times and evaluating at x = a eliminates all lower terms and leaves P_n⁽ᵏ⁾(a) = k! · c_k = f⁽ᵏ⁾(a).
Solving for c_k yields c_k = f⁽ᵏ⁾(a) / k!, and applying the Mean Value Theorem n + 1 times produces the Lagrange error bound.

Exemplos resolvidos

#1: Approximate e¹ using a 5th-degree Maclaurin polynomial (k = 0 to 5).

x = 1n = 5f⁽ᵏ⁾(0) = 1 for all k

P₅(1) = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120

→ P₅(1) = 2.71667 (exact e = 2.71828, error = 0.00161)

#2: Approximate sin(0.5 rad) using the cubic Taylor polynomial x − x³/6.

x = 0.5 radn = 3

P₃(0.5) = 0.5 − (0.5)³ / 6 = 0.5 − 0.125 / 6

→ 0.47917 (exact sin(0.5) = 0.47943)

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Perguntas Frequentes (FAQ)

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Insira os valores ou ajuste os controles para calcular e visualizar Fórmula das Séries de Taylor e Maclaurin — Aproximação Polinomial usando a equação f(x) = Σ_{k=0..∞} [ f⁽ᵏ⁾(a) / k! ] · (x − a)ᵏ em tempo real no navegador. Representa uma função derivável f(x) nas vizinhanças de um ponto x = a como uma série de potências construída a partir de suas derivadas.

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