04 // Compêndio Interativo de Fórmulas // EQUAÇÕES DE FINANÇAS CORPORATIVAS, DERIVATIVOS E CARTEIRASC = S₀ · N(d₁) − K · e^(−rT) · N(d₂)

Fórmula de Black-Scholes-Merton — Precificação de Opções Call, Put e Gregas

Equação consagrada de finanças quantitativas para precificar opções europeias de compra (Call) e venda (Put) e suas sensibilidades de risco.

Referência da fórmula

Fórmula principal

C = S₀ · N(d₁) − K · e^(−rT) · N(d₂)

Formas isoladas

d₁ = [ ln(S₀ / K) + (r + ½σ²)T ] / (σ √T), d₂ = d₁ − σ √T

P = K · e^(−rT) · N(−d₂) − S₀ · N(−d₁) (European Put via Put-Call Parity)

Δ_call = N(d₁), Δ_put = N(d₁) − 1 (Option Delta Hedge Ratio)

Variáveis e unidades

Variáveis e unidades — Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula — Call, Put & Greeks Sheet
Symbol	Name	Unit
C	European Call Option Theoretical Price (C)	USD
S0	Underlying Spot Price (S₀)	USD
K	Option Strike Price (K)	USD
r	Risk-Free Annual Rate (r)	1/yr
sigma	Annualized Volatility (σ)	1/√yr
T	Time to Expiration (T in years)	yr

Entradas e parâmetros

S0Underlying Spot Price (S₀)[USD]

KOption Strike Price (K)[USD]

rRisk-Free Annual Rate (r)[1/yr]

sigmaAnnualized Volatility (σ)[1/√yr]

TTime to Expiration (T in years)[yr]

Resultado calculado (European Call Option Theoretical Price (C))

C =10.45058USD

Notas e explicação da fórmula

Model the underlying asset via geometric Brownian motion dS = μS dt + σS dW and apply Itô's Lemma to option value V(S, t).
Construct a dynamically delta-hedged portfolio Π = V − (∂V/∂S)S that eliminates the stochastic Wiener term dW, forcing dΠ = rΠ dt by no-arbitrage.
Solve the resulting parabolic Black-Scholes PDE ∂V/∂t + ½σ²S²(∂²V/∂S²) + rS(∂V/∂S) − rV = 0 with terminal payoff max(S_T − K, 0).

Exemplos resolvidos

#1: Price an at-the-money 1-year European call option with S₀ = $100, K = $100, r = 5%, and σ = 20%.

S₀ = $100K = $100r = 0.05σ = 0.20T = 1.0 yr

d₁ = (0 + (0.05 + 0.02)×1) / 0.20 = 0.35 ⇒ N(d₁) = 0.6368; d₂ = 0.15 ⇒ N(d₂) = 0.5596

→ C = 100(0.6368) − 100 e^(−0.05)(0.5596) = $10.45 (Put P = $5.57)

#2: Verify Put-Call Parity C − P = S₀ − K e^(−rT) on the option above.

C = $10.4506P = $5.5735K e^(−0.05) = $95.1229

10.4506 − 5.5735 = 4.8771 = 100 − 95.1229

→ Parity holds to $4.88

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Perguntas Frequentes (FAQ)

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