04 // Compendium Interactif de Formules // ÉQUATIONS DE FINANCE D'ENTREPRISE, PRODUITS DÉRIVÉS ET PORTEFEUILLESC = S₀ · N(d₁) − K · e^(−rT) · N(d₂)

Formule de Black-Scholes-Merton — Valorisation d'options Call, Put et Grecques

Modèle de référence permettant d'évaluer le prix théorique des options européennes d'achat (Call) et de vente (Put) ainsi que leurs sensibilités.

Fiche formule

Formule principale

C = S₀ · N(d₁) − K · e^(−rT) · N(d₂)

Formes équivalentes

d₁ = [ ln(S₀ / K) + (r + ½σ²)T ] / (σ √T), d₂ = d₁ − σ √T

P = K · e^(−rT) · N(−d₂) − S₀ · N(−d₁) (European Put via Put-Call Parity)

Δ_call = N(d₁), Δ_put = N(d₁) − 1 (Option Delta Hedge Ratio)

Variables et unités

Variables et unités — Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula — Call, Put & Greeks Sheet
Symbol	Name	Unit
C	European Call Option Theoretical Price (C)	USD
S0	Underlying Spot Price (S₀)	USD
K	Option Strike Price (K)	USD
r	Risk-Free Annual Rate (r)	1/yr
sigma	Annualized Volatility (σ)	1/√yr
T	Time to Expiration (T in years)	yr

Valeurs et paramètres

S0Underlying Spot Price (S₀)[USD]

KOption Strike Price (K)[USD]

rRisk-Free Annual Rate (r)[1/yr]

sigmaAnnualized Volatility (σ)[1/√yr]

TTime to Expiration (T in years)[yr]

Résultat calculé (European Call Option Theoretical Price (C))

C =10.45058USD

Explications et origine de la formule

Model the underlying asset via geometric Brownian motion dS = μS dt + σS dW and apply Itô's Lemma to option value V(S, t).
Construct a dynamically delta-hedged portfolio Π = V − (∂V/∂S)S that eliminates the stochastic Wiener term dW, forcing dΠ = rΠ dt by no-arbitrage.
Solve the resulting parabolic Black-Scholes PDE ∂V/∂t + ½σ²S²(∂²V/∂S²) + rS(∂V/∂S) − rV = 0 with terminal payoff max(S_T − K, 0).

Exemples détaillés

#1: Price an at-the-money 1-year European call option with S₀ = $100, K = $100, r = 5%, and σ = 20%.

S₀ = $100K = $100r = 0.05σ = 0.20T = 1.0 yr

d₁ = (0 + (0.05 + 0.02)×1) / 0.20 = 0.35 ⇒ N(d₁) = 0.6368; d₂ = 0.15 ⇒ N(d₂) = 0.5596

→ C = 100(0.6368) − 100 e^(−0.05)(0.5596) = $10.45 (Put P = $5.57)

#2: Verify Put-Call Parity C − P = S₀ − K e^(−rT) on the option above.

C = $10.4506P = $5.5735K e^(−0.05) = $95.1229

10.4506 − 5.5735 = 4.8771 = 100 − 95.1229

→ Parity holds to $4.88

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Questions Fréquemment Posées

Comment utiliser l'outil Formule de Black-Scholes-Merton — Valorisation d'options Call, Put et Grecques en ligne ?+

Modifiez les paramètres pour résoudre et visualiser Formule de Black-Scholes-Merton — Valorisation d'options Call, Put et Grecques selon la formule C = S₀ · N(d₁) − K · e^(−rT) · N(d₂) instantanément dans votre navigateur. Modèle de référence permettant d'évaluer le prix théorique des options européennes d'achat (Call) et de vente (Put) ainsi que leurs sensibilités.

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