04 // 交互式科学公式百科 // 公司金融、衍生品定价与投资组合公式C = S₀ · N(d₁) − K · e^(−rT) · N(d₂)
Black-Scholes 期权定价公式 — 看涨、看跌与希腊字母速查
诺贝尔奖经典的欧式看涨与看跌期权定价解析公式，涵盖标的资产价格、波动率、到期时间与风险敏感度指标。
公式速查卡
核心公式
C = S₀ · N(d₁) − K · e^(−rT) · N(d₂)
变形公式
d₁ = [ ln(S₀ / K) + (r + ½σ²)T ] / (σ √T), d₂ = d₁ − σ √T
P = K · e^(−rT) · N(−d₂) − S₀ · N(−d₁) (European Put via Put-Call Parity)
Δ_call = N(d₁), Δ_put = N(d₁) − 1 (Option Delta Hedge Ratio)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| C | European Call Option Theoretical Price (C) | USD |
| S0 | Underlying Spot Price (S₀) | USD |
| K | Option Strike Price (K) | USD |
| r | Risk-Free Annual Rate (r) | 1/yr |
| sigma | Annualized Volatility (σ) | 1/√yr |
| T | Time to Expiration (T in years) | yr |
输入数值与参数
[USD]
[USD]
[1/yr]
[1/√yr]
[yr]
计算结果 (European Call Option Theoretical Price (C))
C =10.45058USD
公式说明与推导背景
- Model the underlying asset via geometric Brownian motion dS = μS dt + σS dW and apply Itô's Lemma to option value V(S, t).
- Construct a dynamically delta-hedged portfolio Π = V − (∂V/∂S)S that eliminates the stochastic Wiener term dW, forcing dΠ = rΠ dt by no-arbitrage.
- Solve the resulting parabolic Black-Scholes PDE ∂V/∂t + ½σ²S²(∂²V/∂S²) + rS(∂V/∂S) − rV = 0 with terminal payoff max(S_T − K, 0).
分步计算实例
#1: Price an at-the-money 1-year European call option with S₀ = $100, K = $100, r = 5%, and σ = 20%.
S₀ = $100K = $100r = 0.05σ = 0.20T = 1.0 yr
d₁ = (0 + (0.05 + 0.02)×1) / 0.20 = 0.35 ⇒ N(d₁) = 0.6368; d₂ = 0.15 ⇒ N(d₂) = 0.5596
→ C = 100(0.6368) − 100 e^(−0.05)(0.5596) = $10.45 (Put P = $5.57)
#2: Verify Put-Call Parity C − P = S₀ − K e^(−rT) on the option above.
C = $10.4506P = $5.5735K e^(−0.05) = $95.1229
10.4506 − 5.5735 = 4.8771 = 100 − 95.1229
→ Parity holds to $4.88
这个工具对您有帮助吗？
常见问题解答 (FAQ)
如何使用在线 Black-Scholes 期权定价公式 — 看涨、看跌与希腊字母速查 工具？+
输入已知参数或拖动滑块，即可在浏览器中实时计算并可视化 Black-Scholes 期权定价公式 — 看涨、看跌与希腊字母速查（基于关系式 C = S₀ · N(d₁) − K · e^(−rT) · N(d₂)）。诺贝尔奖经典的欧式看涨与看跌期权定价解析公式，涵盖标的资产价格、波动率、到期时间与风险敏感度指标。
可以导出或打印 Black-Scholes 期权定价公式 — 看涨、看跌与希腊字母速查 的结果吗？+
可以。支持一键复制数据、打印计算工作表或导出高清 SVG、PNG 和 CSV 文件。
我可以清空 Black-Scholes 期权定价公式 — 看涨、看跌与希腊字母速查 中的示例数据并从空白状态开始吗？+
可以。点击工具顶部的“清空 / 空白开始”按钮即可重置所有输入项，随时也可一键重新加载示例数据。