04 // 交互式科学公式百科 // 微积分、级数展开与代数恒等式速查x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
一元二次方程求根公式 — 实根、判别式与顶点速查表
通过配方法推导的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 通用代数求根公式，涵盖判别式与抛物线顶点坐标。
公式速查卡
核心公式
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
变形公式
Δ = b² − 4ac (Discriminant)
x_vertex = −b / (2a), y_vertex = c − b² / (4a)
x₁ + x₂ = −b / a, x₁ · x₂ = c / a (Vieta's Formulas)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| x₁ | Principal Root (x₁ = (−b + √Δ) / 2a) | dimensionless |
| a | Quadratic Coefficient (a ≠ 0) | 1 |
| b | Linear Coefficient | 1 |
| c | Constant Term (y-intercept) | 1 |
输入数值与参数
[1]
[1]
[1]
计算结果 (Principal Root (x₁ = (−b + √Δ) / 2a))
x₁ =3dimensionless
公式说明与推导背景
- Divide ax² + bx + c = 0 through by a ≠ 0 to normalize the leading term: x² + (b/a)x = −c/a.
- Complete the square by adding (b / 2a)² to both sides: (x + b / 2a)² = (b² − 4ac) / (4a²).
- Take the square root of both sides and isolate x to obtain x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
分步计算实例
#1: Solve x² − 5x + 6 = 0 for its two real intersections with the x-axis.
a = 1b = −5c = 6
x = (−(−5) ± √((−5)² − 4(1)(6))) / (2 × 1) = (5 ± √(25 − 24)) / 2
→ x₁ = 3, x₂ = 2 (Δ = 1 > 0, two distinct real roots)
#2: Determine the roots of 2x² + 4x − 6 = 0.
a = 2b = 4c = −6
x = (−4 ± √(16 − 4(2)(−6))) / 4 = (−4 ± √64) / 4 = (−4 ± 8) / 4
→ x₁ = 1, x₂ = −3 (Δ = 64)
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