04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // فرمول‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال، سری‌ها و اتحادهای جبریx = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
فرمول کلی معادله درجه دوم — برگه مرجع ریشه‌ها، دلتا و رأس سهمی
راه‌حل جبری بسته برای یافتن ریشه‌های هر معادله چندجمله‌ای درجه دوم $ax^2 + bx + c = 0$ که از روش مربع کامل استخراج می‌شود.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
فرم‌های بازآرایی‌شده
Δ = b² − 4ac (Discriminant)
x_vertex = −b / (2a), y_vertex = c − b² / (4a)
x₁ + x₂ = −b / a, x₁ · x₂ = c / a (Vieta's Formulas)
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| x₁ | Principal Root (x₁ = (−b + √Δ) / 2a) | dimensionless |
| a | Quadratic Coefficient (a ≠ 0) | 1 |
| b | Linear Coefficient | 1 |
| c | Constant Term (y-intercept) | 1 |
ورودی‌ها و پارامترها
[1]
[1]
[1]
نتیجه محاسبه (Principal Root (x₁ = (−b + √Δ) / 2a))
x₁ =3dimensionless
توضیحات و پیشینه فرمول
- Divide ax² + bx + c = 0 through by a ≠ 0 to normalize the leading term: x² + (b/a)x = −c/a.
- Complete the square by adding (b / 2a)² to both sides: (x + b / 2a)² = (b² − 4ac) / (4a²).
- Take the square root of both sides and isolate x to obtain x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Solve x² − 5x + 6 = 0 for its two real intersections with the x-axis.
a = 1b = −5c = 6
x = (−(−5) ± √((−5)² − 4(1)(6))) / (2 × 1) = (5 ± √(25 − 24)) / 2
→ x₁ = 3, x₂ = 2 (Δ = 1 > 0, two distinct real roots)
#2: Determine the roots of 2x² + 4x − 6 = 0.
a = 2b = 4c = −6
x = (−4 ± √(16 − 4(2)(−6))) / 4 = (−4 ± √64) / 4 = (−4 ± 8) / 4
→ x₁ = 1, x₂ = −3 (Δ = 64)
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین فرمول کلی معادله درجه دوم — برگه مرجع ریشه‌ها، دلتا و رأس سهمی چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا فرمول کلی معادله درجه دوم — برگه مرجع ریشه‌ها، دلتا و رأس سهمی بر اساس رابطه x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. راه‌حل جبری بسته برای یافتن ریشه‌های هر معادله چندجمله‌ای درجه دوم $ax^2 + bx + c = 0$ که از روش مربع کامل استخراج می‌شود.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای فرمول کلی معادله درجه دوم — برگه مرجع ریشه‌ها، دلتا و رأس سهمی را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در فرمول کلی معادله درجه دوم — برگه مرجع ریشه‌ها، دلتا و رأس سهمی پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.