04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // فرمول‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال، سری‌ها و اتحادهای جبری(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
فرمول قضیه دوجمله‌ای نیوتن — بسط، مثلث خیام-پاسکال و جمله عمومی
بسط جبری توان‌های دوجمله‌ای $(a + b)^n$ به مجموع $n + 1$ جمله وزن‌دهی‌شده با ضرایب ترکیبیاتی $C(n, k)$.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
(a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
فرم‌های بازآرایی‌شده
T_{k+1} = C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ (General k-th Indexed Term)
C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) (Binomial Coefficient)
Σ_{k=0..n} C(n, k) = 2ⁿ (Sum of Pascal Row)
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| T_{k+1} | Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ | dimensionless |
| a | First Base Term (a) | 1 |
| b | Second Base Term (b) | 1 |
| n | Binomial Exponent (n) | integer |
| k | Term Index (0 ≤ k ≤ n) | integer |
ورودی‌ها و پارامترها
[1]
[1]
[integer]
[integer]
نتیجه محاسبه (Evaluated Binomial Term C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ)
T_{k+1} =216dimensionless
توضیحات و پیشینه فرمول
- Multiplying n identical factors (a + b)(a + b)...(a + b) produces terms of the form aⁿ⁻ᵏbᵏ by choosing 'b' from exactly k factors and 'a' from the remaining n − k factors.
- The number of distinct ways to select k factors out of n is the combinatorial coefficient C(n, k) = n! / (k!(n − k)!).
- Pascal's identity C(n, k) + C(n, k−1) = C(n+1, k) enables inductive proof for all integers n ≥ 0.
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Find the k = 2 middle term in the expansion of (2 + 3)⁴.
a = 2b = 3n = 4k = 2
T₃ = C(4, 2) × 2^(4−2) × 3² = 6 × 4 × 9
→ T₃ = 216 (while full expansion (2+3)⁴ = 5⁴ = 625)
#2: Find the coefficient of x³y² in (2x + y)⁵.
a = 2b = 1n = 5k = 2
Coeff = C(5, 2) × 2³ × 1² = 10 × 8 × 1
→ 80 (so the term is 80x³y²)
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین فرمول قضیه دوجمله‌ای نیوتن — بسط، مثلث خیام-پاسکال و جمله عمومی چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا فرمول قضیه دوجمله‌ای نیوتن — بسط، مثلث خیام-پاسکال و جمله عمومی بر اساس رابطه (a + b)ⁿ = Σ_{k=0..n} C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. بسط جبری توان‌های دوجمله‌ای $(a + b)^n$ به مجموع $n + 1$ جمله وزن‌دهی‌شده با ضرایب ترکیبیاتی $C(n, k)$.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای فرمول قضیه دوجمله‌ای نیوتن — بسط، مثلث خیام-پاسکال و جمله عمومی را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در فرمول قضیه دوجمله‌ای نیوتن — بسط، مثلث خیام-پاسکال و جمله عمومی پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.