04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // فرمول‌های توزیع‌های آماری، رگرسیون و آنتروپی اطلاعاتP(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)
فرمول تابع جرم احتمال توزیع دوجمله‌ای
احتمال گسسته دقیق مشاهده $k$ موفقیت در $n$ آزمایش مستقل برنولی که احتمال موفقیت هر کدام $p$ است.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)
فرم‌های بازآرایی‌شده
E[X] = n · p
Var(X) = n · p · (1 − p)
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| P | Exact Probability P(X = k) | probability (0–1) |
| n | Number of Trials n | trials |
| k | Observed Successes k | successes |
| p | Success Probability p | 0–1 |
ورودی‌ها و پارامترها
[trials]
[successes]
[0–1]
نتیجه محاسبه (Exact Probability P(X = k))
P =0.250282probability (0–1)
توضیحات و پیشینه فرمول
- Any specific sequence of k successes and n−k failures has probability p^k(1−p)^(n−k), and there are C(n,k) mutually exclusive orderings.
- Sums to 1 by the Binomial Theorem: ∑_{k=0}^n C(n,k) p^k (1−p)^(n−k) = (p + 1 − p)^n = 1.
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Probability of getting exactly k = 3 heads in n = 10 tosses of a biased coin (p = 0.25).
n = 10k = 3p = 0.25
C(10,3) × (0.25)³ × (0.75)⁷ = 120 × 0.015625 × 0.133484
→ P(X = 3) = 0.2503 (25.03%)
#2: Mean and standard deviation of defective items in a batch of n = 400 with p = 0.02.
n = 400p = 0.02
μ = 400 × 0.02 = 8; σ = √(400 × 0.02 × 0.98) = √7.84
→ μ = 8.0 defects, σ = 2.80 defects
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین فرمول تابع جرم احتمال توزیع دوجمله‌ای چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا فرمول تابع جرم احتمال توزیع دوجمله‌ای بر اساس رابطه P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. احتمال گسسته دقیق مشاهده $k$ موفقیت در $n$ آزمایش مستقل برنولی که احتمال موفقیت هر کدام $p$ است.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای فرمول تابع جرم احتمال توزیع دوجمله‌ای را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در فرمول تابع جرم احتمال توزیع دوجمله‌ای پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.