04 // 交互式科学公式百科 // 概率分布、回归分析与信息熵公式P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)

二项分布概率质量函数公式

精确计算在单次成功概率为 p 的 n 次独立重复试验中，恰好出现 k 次成功的离散概率。

公式速查卡

核心公式

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)

变形公式

E[X] = n · p

Var(X) = n · p · (1 − p)

变量说明与单位

输入数值与参数

nNumber of Trials n[trials]

kObserved Successes k[successes]

pSuccess Probability p[0–1]

计算结果 (Exact Probability P(X = k))

P =0.250282probability (0–1)

公式说明与推导背景

Any specific sequence of k successes and n−k failures has probability p^k(1−p)^(n−k), and there are C(n,k) mutually exclusive orderings.
Sums to 1 by the Binomial Theorem: ∑_{k=0}^n C(n,k) p^k (1−p)^(n−k) = (p + 1 − p)^n = 1.

#1: Probability of getting exactly k = 3 heads in n = 10 tosses of a biased coin (p = 0.25).

n = 10k = 3p = 0.25

C(10,3) × (0.25)³ × (0.75)⁷ = 120 × 0.015625 × 0.133484

→ P(X = 3) = 0.2503 (25.03%)

#2: Mean and standard deviation of defective items in a batch of n = 400 with p = 0.02.

n = 400p = 0.02

μ = 400 × 0.02 = 8; σ = √(400 × 0.02 × 0.98) = √7.84

→ μ = 8.0 defects, σ = 2.80 defects

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