04 // 交互式科学公式百科 // 概率分布、回归分析与信息熵公式f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
正态分布（高斯分布）概率密度与 Z 分数公式
由中心极限定理引出的经典对称钟形分布公式，完全由均值 μ 和标准差 σ 两个参数决定形态。
公式速查卡
核心公式
f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
变形公式
z = (x − μ) / σ
Φ(z) = ½ · [1 + erf(z / √2)]
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Probability Density f(x) | density | |
| x | Observation x | units |
| mu | Population Mean μ | units |
| sigma | Standard Deviation σ | units |
输入数值与参数
[units]
[units]
[units]
计算结果 (Probability Density f(x))
pdf =0.016131density
公式说明与推导背景
- Normalized via the Gaussian integral ∫_{−∞}^{∞} e^(−u²/2) du = √(2π).
- Maximizes differential Shannon entropy among all continuous real distributions with fixed variance σ².
分步计算实例
#1: Standardized score x = 115 on a scale with μ = 100 and σ = 15.
x = 115μ = 100σ = 15
z = (115 − 100)/15 = +1.00; f(115) = (1 / (15√(2π))) · e^(−0.5)
→ z = +1.00, f(115) = 0.01613, cumulative percentile Φ(1.0) = 84.13%
#2: Empirical rule coverage within ±1σ, ±2σ, and ±3σ of the mean.
z = ±1, ±2, ±3
erf(z / √2) evaluated at z = 1, 2, 3
→ 68.27% (±1σ), 95.45% (±2σ), 99.73% (±3σ)
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常见问题解答 (FAQ)
如何使用在线 正态分布（高斯分布）概率密度与 Z 分数公式 工具？+
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