04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 확률 분포·회귀분석 및 정보 엔트로피 공식집f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
정규(가우스) 확률밀도함수 및 Z-점수 공식
중심극한정리로부터 도출되며 평균 μ와 표준편차 σ로 결정되는 대칭 종 모양 확률 분포의 핵심 공식을 다룹니다.
공식 요약
기본 공식
f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
변형 공식
z = (x − μ) / σ
Φ(z) = ½ · [1 + erf(z / √2)]
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Probability Density f(x) | density | |
| x | Observation x | units |
| mu | Population Mean μ | units |
| sigma | Standard Deviation σ | units |
입력값 및 설정
[units]
[units]
[units]
계산 결과 (Probability Density f(x))
pdf =0.016131density
공식 설명 및 배경
- Normalized via the Gaussian integral ∫_{−∞}^{∞} e^(−u²/2) du = √(2π).
- Maximizes differential Shannon entropy among all continuous real distributions with fixed variance σ².
단계별 풀이 예제
#1: Standardized score x = 115 on a scale with μ = 100 and σ = 15.
x = 115μ = 100σ = 15
z = (115 − 100)/15 = +1.00; f(115) = (1 / (15√(2π))) · e^(−0.5)
→ z = +1.00, f(115) = 0.01613, cumulative percentile Φ(1.0) = 84.13%
#2: Empirical rule coverage within ±1σ, ±2σ, and ±3σ of the mean.
z = ±1, ±2, ±3
erf(z / √2) evaluated at z = 1, 2, 3
→ 68.27% (±1σ), 95.45% (±2σ), 99.73% (±3σ)
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자주 묻는 질문 (FAQ)
정규(가우스) 확률밀도함수 및 Z-점수 공식 도구는 어떻게 사용하나요?+
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