04 // Compendio Interactivo de Fórmulas // FÓRMULAS DE DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS, REGRESIÓN Y ENTROPÍAf(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)

Fórmula de Densidad de Probabilidad Normal (Campana de Gauss) y Puntaje Z

Ecuación de la célebre curva en forma de campana definida por su media μ y su desviación estándar σ, base del teorema central del límite.

Referencia de la fórmula

Fórmula principal

f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)

Formas despejadas

z = (x − μ) / σ

Φ(z) = ½ · [1 + erf(z / √2)]

Variables y unidades

Variables y unidades — Normal (Gaussian) Probability Density & Z-Score Formula
Symbol	Name	Unit
pdf	Probability Density f(x)	density
x	Observation x	units
mu	Population Mean μ	units
sigma	Standard Deviation σ	units

Datos y parámetros

xObservation x[units]

muPopulation Mean μ[units]

sigmaStandard Deviation σ[units]

Resultado calculado (Probability Density f(x))

pdf =0.016131density

Notas y origen de la fórmula

Normalized via the Gaussian integral ∫_{−∞}^{∞} e^(−u²/2) du = √(2π).
Maximizes differential Shannon entropy among all continuous real distributions with fixed variance σ².

Ejemplos resueltos

#1: Standardized score x = 115 on a scale with μ = 100 and σ = 15.

x = 115μ = 100σ = 15

z = (115 − 100)/15 = +1.00; f(115) = (1 / (15√(2π))) · e^(−0.5)

→ z = +1.00, f(115) = 0.01613, cumulative percentile Φ(1.0) = 84.13%

#2: Empirical rule coverage within ±1σ, ±2σ, and ±3σ of the mean.

z = ±1, ±2, ±3

erf(z / √2) evaluated at z = 1, 2, 3

→ 68.27% (±1σ), 95.45% (±2σ), 99.73% (±3σ)

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Preguntas Frecuentes

¿Cómo funciona la herramienta Fórmula de Densidad de Probabilidad Normal (Campana de Gauss) y Puntaje Z online?+

Esta herramienta interactiva permite calcular y visualizar Fórmula de Densidad de Probabilidad Normal (Campana de Gauss) y Puntaje Z aplicando la relación exacta f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²) en tiempo real con pasos detallados. Ecuación de la célebre curva en forma de campana definida por su media μ y su desviación estándar σ, base del teorema central del límite.

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Sí, es gratuita y de acceso inmediato. Puedes copiar los resultados, imprimir la hoja de trabajo o descargar gráficos en alta resolución SVG, PNG y CSV.

¿Puedo borrar los datos de ejemplo en Fórmula de Densidad de Probabilidad Normal (Campana de Gauss) y Puntaje Z y empezar en blanco?+

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