04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // قوانين التوزيعات الإحصائية والانحدار وإنتروبيا المعلوماتf(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
صيغة كثافة التوزيع الطبيعي (غاوس) والدرجة المعيارية Z
معادلة منحنى الجرس الشهير الناتج عن نظرية النهاية المركزية والمحدد بالمتوسط $\mu$ والانحراف المعياري $\sigma$.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
الصيغ البديلة
z = (x − μ) / σ
Φ(z) = ½ · [1 + erf(z / √2)]
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Probability Density f(x) | density | |
| x | Observation x | units |
| mu | Population Mean μ | units |
| sigma | Standard Deviation σ | units |
المدخلات والمعاملات
[units]
[units]
[units]
النتيجة المحسوبة (Probability Density f(x))
pdf =0.016131density
شرح المعادلة وملاحظاتها
- Normalized via the Gaussian integral ∫_{−∞}^{∞} e^(−u²/2) du = √(2π).
- Maximizes differential Shannon entropy among all continuous real distributions with fixed variance σ².
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Standardized score x = 115 on a scale with μ = 100 and σ = 15.
x = 115μ = 100σ = 15
z = (115 − 100)/15 = +1.00; f(115) = (1 / (15√(2π))) · e^(−0.5)
→ z = +1.00, f(115) = 0.01613, cumulative percentile Φ(1.0) = 84.13%
#2: Empirical rule coverage within ±1σ, ±2σ, and ±3σ of the mean.
z = ±1, ±2, ±3
erf(z / √2) evaluated at z = 1, 2, 3
→ 68.27% (±1σ), 95.45% (±2σ), 99.73% (±3σ)
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة صيغة كثافة التوزيع الطبيعي (غاوس) والدرجة المعيارية Z أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة صيغة كثافة التوزيع الطبيعي (غاوس) والدرجة المعيارية Z وفق المعادلة f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²) فوريًا داخل متصفحك. معادلة منحنى الجرس الشهير الناتج عن نظرية النهاية المركزية والمحدد بالمتوسط $\mu$ والانحراف المعياري $\sigma$.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج صيغة كثافة التوزيع الطبيعي (غاوس) والدرجة المعيارية Z؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في صيغة كثافة التوزيع الطبيعي (غاوس) والدرجة المعيارية Z والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.