04 // Интерактивный справочник формул // ФОРМУЛЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, РЕГРЕССИИ И ЭНТРОПИИf(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)

Формула плотности нормального распределения Гаусса и Z-оценки

Классическая колоколообразная функция плотности вероятности из центральной предельной теоремы, задаваемая средним значением μ и стандартным отклонением σ.

Справочная карточка формулы

Основная формула

f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)

Выраженные формы

z = (x − μ) / σ

Φ(z) = ½ · [1 + erf(z / √2)]

Переменные и единицы

Переменные и единицы — Normal (Gaussian) Probability Density & Z-Score Formula
Symbol	Name	Unit
pdf	Probability Density f(x)	density
x	Observation x	units
mu	Population Mean μ	units
sigma	Standard Deviation σ	units

Исходные данные и параметры

xObservation x[units]

muPopulation Mean μ[units]

sigmaStandard Deviation σ[units]

Результат расчёта (Probability Density f(x))

pdf =0.016131density

Пояснения и вывод формулы

Normalized via the Gaussian integral ∫_{−∞}^{∞} e^(−u²/2) du = √(2π).
Maximizes differential Shannon entropy among all continuous real distributions with fixed variance σ².

Примеры с подробным решением

#1: Standardized score x = 115 on a scale with μ = 100 and σ = 15.

x = 115μ = 100σ = 15

z = (115 − 100)/15 = +1.00; f(115) = (1 / (15√(2π))) · e^(−0.5)

→ z = +1.00, f(115) = 0.01613, cumulative percentile Φ(1.0) = 84.13%

#2: Empirical rule coverage within ±1σ, ±2σ, and ±3σ of the mean.

z = ±1, ±2, ±3

erf(z / √2) evaluated at z = 1, 2, 3

→ 68.27% (±1σ), 95.45% (±2σ), 99.73% (±3σ)

Был ли этот инструмент полезен?

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как пользоваться онлайн-инструментом «Формула плотности нормального распределения Гаусса и Z-оценки»?+

Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Формула плотности нормального распределения Гаусса и Z-оценки по формуле f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²) прямо в браузере. Классическая колоколообразная функция плотности вероятности из центральной предельной теоремы, задаваемая средним значением μ и стандартным отклонением σ.

Можно ли скачать график или расчёт из «Формула плотности нормального распределения Гаусса и Z-оценки»?+

Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.

Можно ли очистить демонстрационные данные в «Формула плотности нормального распределения Гаусса и Z-оценки» и начать с нуля?+

Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.