Изучайте формулы физики, финансов, матанализа и инженерии с живыми расчётами, выводами и подробными примерами.
Точное алгебраическое решение для поиска корней любого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 методом выделения полного квадрата.
Алгебраическое разложение степени двучлена (a + b)ⁿ в сумму n + 1 слагаемых с биномиальными коэффициентами C(n, k).
Представление гладкой дифференцируемой функции f(x) в окрестности точки x = a в виде бесконечного степенного ряда через её производные.
Преобразует интеграл от произведения двух функций в более простой интеграл на основе обращённого правила дифференцирования произведения.
Связывает дифференциальное и интегральное исчисление, показывая, что определённый интеграл вычисляется через первообразную функции.
Объединяет показательную функцию комплексного аргумента с тригонометрическими функциями синуса и косинуса на единичной окружности.
Позволяет найти n-й член и точную сумму первых n членов арифметической прогрессии с постоянной разностью d.
Точная формула суммы n членов геометрической прогрессии со знаменателем r, а также суммы бесконечно убывающего ряда при |r| < 1.
Полный справочник тождеств для логарифма произведения, частного, степени и смены основания для натурального (ln), двоичного (log₂) и десятичного (log₁₀) логарифмов.
Базовые правила нахождения производных сложных функций, произведений, дробей и степенных выражений в математическом анализе.
Обобщает теорему Пифагора на произвольный треугольник с учётом поправочного слагаемого −2ab cos(C).
Устанавливает, что отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно и равно диаметру описанной окружности 2R.
Вычисляет точную площадь, высоты, а также радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника только по длинам трёх его сторон a, b и c.
Евклидово расстояние, координаты середины отрезка и наклон прямой между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) на плоскости.
Уравнения аналитической геометрии для окружности и эллипса: центр (h, k), полуоси (a, b), эксцентриситет e, фокусы, площадь и приближённый периметр Рамануджана.
Фундаментальное соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника, а также рёбрами и диагональю прямоугольного параллелепипеда.
Классические формулы стереометрии для расчёта и сопоставления объёмов и площадей поверхности шара, прямого кругового цилиндра и конуса.
Связывает радиус окружности r и центральный угол θ с длиной дуги s, площадью кругового сектора, хордой, стрелкой прогиба и площадью сегмента.
Наглядный справочник тригонометрических тождеств суммы и разности углов, двойного и половинного аргумента, а также формул понижения степени.
Вычисляет кратчайшее расстояние по дуге большого круга между двумя географическими координатами широты и долготы на поверхности сферы (средний радиус Земли R = 6371 км).
Рассчитывает будущую сумму накоплений A из начального капитала P при начислении процентов n раз в год по ставке r на протяжении t лет.
Дисконтирует поток из n равных периодических платежей PMT по ставке r к единой текущей стоимости PV.
Классическая аналитическая модель справедливой стоимости европейских опционов на покупку и продажу с расчётом коэффициентов чувствительности («греков»).
Связывает ожидаемую доходность актива E(R_i) с безрисковой ставкой R_f, систематическим рыночным риском β_i и премией за риск фондового рынка.
Объединяет стоимость акционерного капитала R_e и посленалоговую стоимость долга R_d(1 − T_c) пропорционально их рыночным долям в структуре финансирования.
Раскладывает рентабельность собственного капитала (ROE) на три ключевых фактора: чистую рентабельность продаж, оборачиваемость активов и финансовый рычаг.
Оценивает чистый прирост стоимости проекта в сегодняшних деньгах путём дисконтирования будущих потоков CF_t по ставке r за вычетом стартовых затрат C₀.
Определяет фундаментальную стоимость зрелой компании или терминальную стоимость денежного потока при постоянном бесконечном темпе роста g < r.
Показатель эффективности инвестиционного портфеля, измеряющий избыточную доходность сверх безрисковой ставки на единицу волатильности σ_p.
Формула теории информации для расчёта точной доли банка f*, которую стоит выделять на сделку с положительным матожиданием ради максимального долгосрочного роста.
Связывает равнодействующую силу F_net, приложенную к массе m, с ускорением a и базовыми кинематическими уравнениями движения.
Закон обратных квадратов для гравитационного притяжения, ускорения свободного падения g, первой и второй космических скоростей и третьего закона Кеплера.
Утверждает, что в замкнутой системе без трения и сопротивления среды сумма кинетической энергии K и потенциальной энергии U остаётся неизменной.
Связывает механическую работу силы W = F·d cos(θ) с изменением кинетической энергии тела ΔK и мгновенной мощностью P = F·v.
Связывает импульс силы J = F_avg Δt с изменением количества движения Δp и описывает абсолютно упругие и неупругие соударения тел.
Базовые уравнения электротехники, связывающие напряжение V, ток I, сопротивление R, тепловую мощность P, а также балансы токов в узлах и напряжений в контурах.
Описывает силу взаимодействия точечных зарядов, напряжённость поля E и электрический потенциал V в вакууме или диэлектрической среде.
Определяет электродвижущую силу (ЭДС) индукции в генераторах, трансформаторах, катушках и беспроводных зарядках при изменении магнитного потока Φ_B.
Объединяет электричество, магнетизм и оптику через четыре уравнения Максвелла, скорость света c = fλ и формулу энергии кванта Планка E = hf.
Формулы специальной теории относительности для лоренц-фактора γ, энергии покоя E₀ = mc², релятивистской кинетической энергии, замедления времени и сокращения длины.
Выражает сохранение энергии вдоль линии тока несжимаемой идеальной жидкости, связывая статическое давление, скоростной и нивелирный напоры.
Безразмерное отношение сил инерции к силам вязкого трения, позволяющее определить ламинарный, переходный или турбулентный режим течения.
Универсальное уравнение гидравлики для расчёта линейных потерь напора и падения давления в прямых напорных трубопроводах.
Точное аналитическое решение для установившегося объёмного расхода вязкой жидкости через цилиндрический капилляр или трубопровод.
Формула сопротивления материалов, определяющая осевую сжимающую нагрузку, при которой гибкая колонна теряет устойчивость.
Основное соотношение сопромата, связывающее внутренний изгибающий момент M с продольным нормальным напряжением в поперечном сечении балки.
Позволяет рассчитать касательные напряжения сдвига и угол закручивания сплошного или полого круглого вала при передаче крутящего момента.
Определяет граничную частоту половинной мощности (−3 дБ), фазовый сдвиг и постоянную времени переходного процесса RC-цепи первого порядка.
Связывает абсолютное давление, объём, количество молей и термодинамическую температуру разреженного газа через универсальную газовую постоянную R = 8,31446 Дж/(моль·К).
Описывает экспоненциальную зависимость константы скорости химической реакции k от энергетического барьера активации E_a и абсолютной температуры T.
Позволяет вычислить водородный показатель pH водных растворов слабой кислоты и её сопряжённого основания, включая физиологические буферные системы.
Определяет равновесный потенциал окислительно-восстановительной полуреакции, напряжение аккумулятора вне стандартных условий и мембранный потенциал клетки.
Ключевой критерий химической термодинамики, определяющий самопроизвольность протекания реакции, полезную работу и константу равновесия при постоянных T и P.
Устанавливает верхний теоретический предел КПД любого теплового двигателя, работающего между нагревателем с температурой T_H и холодильником T_C в кельвинах.
Основное уравнение спектрофотометрии, линейно связывающее оптическую плотность раствора A с молярным коэффициентом поглощения ε, толщиной кюветы l и концентрацией c.
Позволяет пересчитать априорную оценку вероятности P(A) в точную апостериорную вероятность P(A|B) после получения новых диагностических или опытных данных B.
Классическая колоколообразная функция плотности вероятности из центральной предельной теоремы, задаваемая средним значением μ и стандартным отклонением σ.
Вычисляет точную дискретную вероятность получения ровно k успехов в серии из n независимых испытаний с вероятностью успеха p в каждом.
Моделирует вероятность появления заданного числа независимых событий или дефектов за фиксированный интервал времени, площади или объёма со средней частотой λ.
Измеряет тесноту и направление линейной связи r ∈ [−1, +1] и определяет коэффициенты прямой наименьших квадратов.
Оценивает точность выборочного среднего x̄ через стандартную ошибку s/√n и задаёт границы статистического доверительного интервала.
Фундаментальные уравнения теории информации для оценки минимального числа бит на символ при сжатии без потерь H(X) и предела скорости передачи в канале с шумом C.