04 // Интерактивный справочник формул // ЗАКОНЫ ЕВКЛИДОВОЙ, АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИs = r · θ, A_sector = ½ r² θ (θ in radians)

Формулы длины дуги, площади сектора и длины хорды окружности

Связывает радиус окружности r и центральный угол θ с длиной дуги s, площадью кругового сектора, хордой, стрелкой прогиба и площадью сегмента.

Справочная карточка формулы

Основная формула

s = r · θ, A_sector = ½ r² θ (θ in radians)

Выраженные формы

c = 2r · sin(θ / 2) (Chord Length)

A_segment = ½ r² (θ − sin θ) (Circular Segment Area)

h_sagitta = r · (1 − cos(θ / 2)) (Sagitta / Arc Rise)

Переменные и единицы

Переменные и единицы — Circular Arc Length, Sector Area & Chord Length Formula Sheet
Symbol	Name	Unit
A_sector	Circular Sector Area (½ r² θ)	m²
r	Circle Radius (r)	m
theta_deg	Central Angle (degrees)	deg

Исходные данные и параметры

rCircle Radius (r)[m]

theta_degCentral Angle (degrees)[deg]

Результат расчёта (Circular Sector Area (½ r² θ))

A_sector =52.35988m²

Пояснения и вывод формулы

By definition of radian measure, one radian subtends an arc equal in length to the radius r, so arc length scales linearly as s = rθ.
A full circle of angle 2π rad has area πr²; taking the fraction θ / (2π) of the full area gives A_sector = (θ / 2π) · πr² = ½r²θ.
Subtracting the isosceles triangle area ½r² sin(θ) from the sector area ½r²θ leaves the circular segment area ½r²(θ − sin θ).

Примеры с подробным решением

#1: Find the arc length, sector area, and chord for r = 10 m and θ = 60° (π/3 rad).

r = 10 mθ = 60° = π/3 rad ≈ 1.04720 rad

s = 10 × (π/3) = 10.472 m; A = ½ × 100 × (π/3) = 52.360 m²; c = 20 sin(30°) = 10 m

→ Arc s = 10.472 m, Sector Area = 52.360 m², Chord = 10.000 m

#2: Find the circular segment area bounded by the chord and arc in the example above.

r = 10 mθ = π/3 rad

A_seg = ½(100)(π/3 − sin(π/3)) = 50(1.04720 − 0.86603)

→ A_segment = 9.059 m²

Был ли этот инструмент полезен?

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Как пользоваться онлайн-инструментом «Формулы длины дуги, площади сектора и длины хорды окружности»?+

Введите известные параметры или перемещайте ползунки для мгновенного расчёта Формулы длины дуги, площади сектора и длины хорды окружности по формуле s = r · θ, A_sector = ½ r² θ (θ in radians) прямо в браузере. Связывает радиус окружности r и центральный угол θ с длиной дуги s, площадью кругового сектора, хордой, стрелкой прогиба и площадью сегмента.

Можно ли скачать график или расчёт из «Формулы длины дуги, площади сектора и длины хорды окружности»?+

Да, все вычисления выполняются локально в браузере. Вы можете скачать векторный SVG, растровый PNG, таблицу CSV или распечатать лист с решением.

Можно ли очистить демонстрационные данные в «Формулы длины дуги, площади сектора и длины хорды окружности» и начать с нуля?+

Да. Нажмите кнопку очистки в верхней части инструмента, чтобы сбросить поля и ввести собственные данные с чистого листа, либо верните пример одним нажатием.