04 // 交互式科学公式百科 // 欧氏几何、解析几何、圆锥曲线与三角定律s = r · θ, A_sector = ½ r² θ (θ in radians)
圆弧长度、扇形面积与弦长弓形公式速查表
完整列出半径 r 与圆心角 θ 同圆弧长 s、扇形面积、弦长、矢高及弓形面积之间的换算公式。
公式速查卡
核心公式
s = r · θ, A_sector = ½ r² θ (θ in radians)
变形公式
c = 2r · sin(θ / 2) (Chord Length)
A_segment = ½ r² (θ − sin θ) (Circular Segment Area)
h_sagitta = r · (1 − cos(θ / 2)) (Sagitta / Arc Rise)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| A_sector | Circular Sector Area (½ r² θ) | m² |
| r | Circle Radius (r) | m |
| theta_deg | Central Angle (degrees) | deg |
输入数值与参数
[m]
[deg]
计算结果 (Circular Sector Area (½ r² θ))
A_sector =52.35988m²
公式说明与推导背景
- By definition of radian measure, one radian subtends an arc equal in length to the radius r, so arc length scales linearly as s = rθ.
- A full circle of angle 2π rad has area πr²; taking the fraction θ / (2π) of the full area gives A_sector = (θ / 2π) · πr² = ½r²θ.
- Subtracting the isosceles triangle area ½r² sin(θ) from the sector area ½r²θ leaves the circular segment area ½r²(θ − sin θ).
分步计算实例
#1: Find the arc length, sector area, and chord for r = 10 m and θ = 60° (π/3 rad).
r = 10 mθ = 60° = π/3 rad ≈ 1.04720 rad
s = 10 × (π/3) = 10.472 m; A = ½ × 100 × (π/3) = 52.360 m²; c = 20 sin(30°) = 10 m
→ Arc s = 10.472 m, Sector Area = 52.360 m², Chord = 10.000 m
#2: Find the circular segment area bounded by the chord and arc in the example above.
r = 10 mθ = π/3 rad
A_seg = ½(100)(π/3 − sin(π/3)) = 50(1.04720 − 0.86603)
→ A_segment = 9.059 m²
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常见问题解答 (FAQ)
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