04 // 交互式科学公式百科 // 欧氏几何、解析几何、圆锥曲线与三角定律a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R
正弦定理公式 — 边角比例与外接圆半径速查表
表明任意三角形各边长与其对角正弦值的比值恒定相等，且恰好等于外接圆直径 2R。
公式速查卡
核心公式
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R
变形公式
b = a · sin(B) / sin(A) (Side Solver)
sin(B) = b · sin(A) / a (Angle Solver)
Area = ½ ab · sin(C) = abc / (4R)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| b | Opposite Side Length (b) | m |
| a | Known Side Length (a) | m |
| A_deg | Opposite Angle A (degrees) | deg |
| B_deg | Target Angle B (degrees) | deg |
输入数值与参数
[m]
[deg]
[deg]
计算结果 (Opposite Side Length (b))
b =16.91958m
公式说明与推导背景
- Drop an altitude h_c from vertex C perpendicular to side c.
- From the two resulting right triangles, h_c = b sin(A) and h_c = a sin(B).
- Equating b sin(A) = a sin(B) and dividing by sin(A)sin(B) yields a/sin(A) = b/sin(B); repeating from vertex A extends the equality to c/sin(C) = 2R.
分步计算实例
#1: Solve for side b when a = 12 m, A = 40°, and B = 65° (AAS triangle).
a = 12 mA = 40°B = 65°
b = 12 × sin(65°) / sin(40°) = 12 × 0.90631 / 0.64279
→ b = 16.919 m (and circumdiameter 2R = 18.669 m)
#2: Find the circumradius R of an equilateral triangle with side a = 10 m and A = 60°.
a = 10 mA = 60°
2R = 10 / sin(60°) = 10 / (√3/2) = 20 / √3
→ R = 10 / √3 ≈ 5.7735 m
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