04 // 交互式科学公式百科 // 欧氏几何、解析几何、圆锥曲线与三角定律A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2
海伦公式 — 已知三边长求三角形面积与内切圆半径
无需测量任何角度，仅凭三条边长 a、b、c 与半周长即可直接算出三角形面积、各边高及内外接圆半径。
公式速查卡
核心公式
A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2
变形公式
r_inradius = A / s (Inscribed Circle Radius)
R_circumradius = (a · b · c) / (4A) (Circumscribed Circle Radius)
h_a = 2A / a (Altitude to Side a)
变量说明与单位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| A | Triangle Surface Area (A) | m² |
| a | Side Length a | m |
| b | Side Length b | m |
| c | Side Length c | m |
输入数值与参数
[m]
[m]
[m]
计算结果 (Triangle Surface Area (A))
A =84m²
公式说明与推导背景
- Start with A = ½ab sin(C) and substitute sin(C) = √(1 − cos²C) = √[(1 − cos C)(1 + cos C)].
- Insert the Law of Cosines cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) and factor the numerators as differences of squares.
- Introduce the semi-perimeter s = (a + b + c)/2 so the four factors become 2s, 2(s − a), 2(s − b), and 2(s − c), yielding A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)].
分步计算实例
#1: Find the area and inradius of a classic 13-14-15 Heronian triangle.
a = 13 mb = 14 mc = 15 m
s = (13 + 14 + 15)/2 = 21; A = √[21 × (21−13) × (21−14) × (21−15)] = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056
→ A = 84 m² (inradius r = 84 / 21 = 4 m)
#2: Verify Heron's formula on a 3-4-5 right triangle.
a = 3 mb = 4 mc = 5 m
s = 6; A = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36
→ A = 6 m² (matching ½ × 3 × 4 = 6 m²)
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