04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // قوانین هندسه اقلیدسی، تحلیلی، مقاطع مخروطی و مثلثاتA = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2
فرمول هرون برای مساحت مثلث — مرجع نیم‌محیط با سه ضلع
محاسبه دقیق مساحت، ارتفاع‌ها و شعاع دایره‌های محاطی و محیطی مثلث مستقیماً از روی سه ضلع $a, b, c$ بدون نیاز به زاویه.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2
فرم‌های بازآرایی‌شده
r_inradius = A / s (Inscribed Circle Radius)
R_circumradius = (a · b · c) / (4A) (Circumscribed Circle Radius)
h_a = 2A / a (Altitude to Side a)
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| A | Triangle Surface Area (A) | m² |
| a | Side Length a | m |
| b | Side Length b | m |
| c | Side Length c | m |
ورودی‌ها و پارامترها
[m]
[m]
[m]
نتیجه محاسبه (Triangle Surface Area (A))
A =84m²
توضیحات و پیشینه فرمول
- Start with A = ½ab sin(C) and substitute sin(C) = √(1 − cos²C) = √[(1 − cos C)(1 + cos C)].
- Insert the Law of Cosines cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) and factor the numerators as differences of squares.
- Introduce the semi-perimeter s = (a + b + c)/2 so the four factors become 2s, 2(s − a), 2(s − b), and 2(s − c), yielding A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)].
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Find the area and inradius of a classic 13-14-15 Heronian triangle.
a = 13 mb = 14 mc = 15 m
s = (13 + 14 + 15)/2 = 21; A = √[21 × (21−13) × (21−14) × (21−15)] = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056
→ A = 84 m² (inradius r = 84 / 21 = 4 m)
#2: Verify Heron's formula on a 3-4-5 right triangle.
a = 3 mb = 4 mc = 5 m
s = 6; A = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36
→ A = 6 m² (matching ½ × 3 × 4 = 6 m²)
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین فرمول هرون برای مساحت مثلث — مرجع نیم‌محیط با سه ضلع چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا فرمول هرون برای مساحت مثلث — مرجع نیم‌محیط با سه ضلع بر اساس رابطه A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2 به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. محاسبه دقیق مساحت، ارتفاع‌ها و شعاع دایره‌های محاطی و محیطی مثلث مستقیماً از روی سه ضلع $a, b, c$ بدون نیاز به زاویه.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای فرمول هرون برای مساحت مثلث — مرجع نیم‌محیط با سه ضلع را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در فرمول هرون برای مساحت مثلث — مرجع نیم‌محیط با سه ضلع پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.