04 // موسوعة المعادلات التفاعلية // قوانين الهندسة الإقليدية والتحليلية والقطوع وحساب المثلثاتA = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2
صيغة هيرون لمساحة المثلث — مرجع نصف المحيط بمعلومية الأضلاع
تحسب مساحة أي مثلث وارتفاعاته ونصفي قطر دائرتيه الداخلية والخارجية مباشرة من أطوال أضلاعه الثلاثة $a, b, c$ دون قياس الزوايا.
مرجع المعادلة
المعادلة الأساسية
A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2
الصيغ البديلة
r_inradius = A / s (Inscribed Circle Radius)
R_circumradius = (a · b · c) / (4A) (Circumscribed Circle Radius)
h_a = 2A / a (Altitude to Side a)
المتغيرات والوحدات
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| A | Triangle Surface Area (A) | m² |
| a | Side Length a | m |
| b | Side Length b | m |
| c | Side Length c | m |
المدخلات والمعاملات
[m]
[m]
[m]
النتيجة المحسوبة (Triangle Surface Area (A))
A =84m²
شرح المعادلة وملاحظاتها
- Start with A = ½ab sin(C) and substitute sin(C) = √(1 − cos²C) = √[(1 − cos C)(1 + cos C)].
- Insert the Law of Cosines cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) and factor the numerators as differences of squares.
- Introduce the semi-perimeter s = (a + b + c)/2 so the four factors become 2s, 2(s − a), 2(s − b), and 2(s − c), yielding A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)].
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
#1: Find the area and inradius of a classic 13-14-15 Heronian triangle.
a = 13 mb = 14 mc = 15 m
s = (13 + 14 + 15)/2 = 21; A = √[21 × (21−13) × (21−14) × (21−15)] = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056
→ A = 84 m² (inradius r = 84 / 21 = 4 m)
#2: Verify Heron's formula on a 3-4-5 right triangle.
a = 3 mb = 4 mc = 5 m
s = 6; A = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36
→ A = 6 m² (matching ½ × 3 × 4 = 6 m²)
هل كانت هذه الأداة مفيدة؟
الأسئلة الشائعة
كيف تعمل أداة صيغة هيرون لمساحة المثلث — مرجع نصف المحيط بمعلومية الأضلاع أونلاين؟+
أدخل القيم المعروفة أو حرّك المؤشرات لحساب ومحاكاة صيغة هيرون لمساحة المثلث — مرجع نصف المحيط بمعلومية الأضلاع وفق المعادلة A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2 فوريًا داخل متصفحك. تحسب مساحة أي مثلث وارتفاعاته ونصفي قطر دائرتيه الداخلية والخارجية مباشرة من أطوال أضلاعه الثلاثة $a, b, c$ دون قياس الزوايا.
هل يمكنني تصدير أو طباعة نتائج صيغة هيرون لمساحة المثلث — مرجع نصف المحيط بمعلومية الأضلاع؟+
نعم، تعمل الأداة بالكامل داخل المتصفح وتتيح نسخ النتائج أو طباعة ورقة العمل أو تنزيل مخططات عالية الدقة بصيغة SVG وPNG وCSV.
هل يمكنني مسح البيانات التجريبية في صيغة هيرون لمساحة المثلث — مرجع نصف المحيط بمعلومية الأضلاع والبدء من الصفر؟+
نعم، انقر على زر المسح والبدء بصفحة فارغة أعلى الأداة لإدخال أرقامك الخاصة من البداية، أو أعد تحميل المثال التوضيحي في أي وقت.