04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 평면·입체기하·원뿔곡선 및 삼각법 공식집A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2
헤론의 삼각형 넓이 공식 — 세 변의 길이(SSS)와 반둘레 정리
각도를 따로 재지 않고 세 변의 길이 a, b, c만으로 삼각형의 정확한 넓이, 높이, 내접원·외접원 반지름을 바로 구하는 공식입니다.
공식 요약
기본 공식
A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2
변형 공식
r_inradius = A / s (Inscribed Circle Radius)
R_circumradius = (a · b · c) / (4A) (Circumscribed Circle Radius)
h_a = 2A / a (Altitude to Side a)
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| A | Triangle Surface Area (A) | m² |
| a | Side Length a | m |
| b | Side Length b | m |
| c | Side Length c | m |
입력값 및 설정
[m]
[m]
[m]
계산 결과 (Triangle Surface Area (A))
A =84m²
공식 설명 및 배경
- Start with A = ½ab sin(C) and substitute sin(C) = √(1 − cos²C) = √[(1 − cos C)(1 + cos C)].
- Insert the Law of Cosines cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) and factor the numerators as differences of squares.
- Introduce the semi-perimeter s = (a + b + c)/2 so the four factors become 2s, 2(s − a), 2(s − b), and 2(s − c), yielding A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)].
단계별 풀이 예제
#1: Find the area and inradius of a classic 13-14-15 Heronian triangle.
a = 13 mb = 14 mc = 15 m
s = (13 + 14 + 15)/2 = 21; A = √[21 × (21−13) × (21−14) × (21−15)] = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056
→ A = 84 m² (inradius r = 84 / 21 = 4 m)
#2: Verify Heron's formula on a 3-4-5 right triangle.
a = 3 mb = 4 mc = 5 m
s = 6; A = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36
→ A = 6 m² (matching ½ × 3 × 4 = 6 m²)
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자주 묻는 질문 (FAQ)
헤론의 삼각형 넓이 공식 — 세 변의 길이(SSS)와 반둘레 정리 도구는 어떻게 사용하나요?+
입력값을 넣거나 슬라이더를 조절하면 헤론의 삼각형 넓이 공식 — 세 변의 길이(SSS)와 반둘레 정리 (공식: A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2) 결과를 브라우저에서 지연 없이 실시간으로 계산하고 시각화합니다. 각도를 따로 재지 않고 세 변의 길이 a, b, c만으로 삼각형의 정확한 넓이, 높이, 내접원·외접원 반지름을 바로 구하는 공식입니다.
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