04 // Compêndio Interativo de Fórmulas // LEIS DE GEOMETRIA PLANA, ANALÍTICA, CÔNICAS E TRIGONOMETRIAA = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2

Fórmula de Heron para Área do Triângulo — Semiperímetro

Calcula a área exata, as alturas e os raios inscrito e circunscrito de qualquer triângulo usando apenas os três lados a, b e c.

Referência da fórmula

Fórmula principal

A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2

Formas isoladas

r_inradius = A / s (Inscribed Circle Radius)

R_circumradius = (a · b · c) / (4A) (Circumscribed Circle Radius)

h_a = 2A / a (Altitude to Side a)

Variáveis e unidades

Variáveis e unidades — Heron's Formula for Triangle Area — SSS Semi-Perimeter Sheet
Symbol	Name	Unit
A	Triangle Surface Area (A)	m²
a	Side Length a	m
b	Side Length b	m
c	Side Length c	m

Entradas e parâmetros

aSide Length a[m]

bSide Length b[m]

cSide Length c[m]

Resultado calculado (Triangle Surface Area (A))

A =84m²

Notas e explicação da fórmula

Start with A = ½ab sin(C) and substitute sin(C) = √(1 − cos²C) = √[(1 − cos C)(1 + cos C)].
Insert the Law of Cosines cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) and factor the numerators as differences of squares.
Introduce the semi-perimeter s = (a + b + c)/2 so the four factors become 2s, 2(s − a), 2(s − b), and 2(s − c), yielding A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)].

Exemplos resolvidos

#1: Find the area and inradius of a classic 13-14-15 Heronian triangle.

a = 13 mb = 14 mc = 15 m

s = (13 + 14 + 15)/2 = 21; A = √[21 × (21−13) × (21−14) × (21−15)] = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056

→ A = 84 m² (inradius r = 84 / 21 = 4 m)

#2: Verify Heron's formula on a 3-4-5 right triangle.

a = 3 mb = 4 mc = 5 m

s = 6; A = √[6 × 3 × 2 × 1] = √36

→ A = 6 m² (matching ½ × 3 × 4 = 6 m²)

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Perguntas Frequentes (FAQ)

Como funciona a ferramenta Fórmula de Heron para Área do Triângulo — Semiperímetro?+

Insira os valores ou ajuste os controles para calcular e visualizar Fórmula de Heron para Área do Triângulo — Semiperímetro usando a equação A = √[ s(s − a)(s − b)(s − c) ], where s = (a + b + c) / 2 em tempo real no navegador. Calcula a área exata, as alturas e os raios inscrito e circunscrito de qualquer triângulo usando apenas os três lados a, b e c.

Posso baixar ou imprimir os resultados de Fórmula de Heron para Área do Triângulo — Semiperímetro?+

Sim! Todos os cálculos são feitos localmente e você pode exportar gráficos em SVG/PNG, copiar tabelas CSV ou imprimir a folha de exercícios.

Posso limpar os dados de exemplo em Fórmula de Heron para Área do Triângulo — Semiperímetro e começar do zero?+

Sim. Clique no botão de limpar no topo de Fórmula de Heron para Área do Triângulo — Semiperímetro para iniciar em branco com seus próprios números, ou recarregue os dados de exemplo a qualquer momento.