04 // Compêndio Interativo de Fórmulas // LEIS DE GEOMETRIA PLANA, ANALÍTICA, CÔNICAS E TRIGONOMETRIAc = √(a² + b²) (2D), d = √(a² + b² + h²) (3D Space Diagonal)

Teorema de Pitágoras em 2D e 3D — Hipotenusa e Diagonal Espacial

Relação ortogonal essencial que liga catetos e hipotenusa no plano e calcula a diagonal interna de blocos retangulares em 3D.

Referência da fórmula

Fórmula principal

c = √(a² + b²) (2D), d = √(a² + b² + h²) (3D Space Diagonal)

Formas isoladas

a = √(c² − b²) (Leg Recovery)

sin²(θ) + cos²(θ) = 1 (Trigonometric Pythagorean Identity)

(m² − n²)² + (2mn)² = (m² + n²)² (Euclid's Pythagorean Triple Generator)

Variáveis e unidades

Variáveis e unidades — Pythagorean Theorem in 2D & 3D Space — Hypotenuse & Space Diagonal
Symbol	Name	Unit
d	Diagonal Length √(a² + b² + h²)	m
a	Length / Leg a	m
b	Width / Leg b	m
h	Height h (set 0 for 2D right triangle)	m

Entradas e parâmetros

aLength / Leg a[m]

bWidth / Leg b[m]

hHeight h (set 0 for 2D right triangle)[m]

Resultado calculado (Diagonal Length √(a² + b² + h²))

d =13m

Notas e explicação da fórmula

Arrange four congruent right triangles of legs a, b and hypotenuse c inside a square of side (a + b).
The total area (a + b)² = a² + 2ab + b² equals the central tilted square c² plus four triangles 4(½ab) = 2ab, leaving a² + b² = c².
In 3D, the floor diagonal is f = √(a² + b²), which forms a right triangle with vertical height h so d = √(f² + h²) = √(a² + b² + h²).

Exemplos resolvidos

#1: Find the 3D space diagonal of a room measuring 3 m × 4 m × 12 m.

a = 3 mb = 4 mh = 12 m

d = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169

→ d = 13 m (exact integer Pythagorean quadruple)

#2: Generate a primitive Pythagorean triple using Euclid's formula with m = 4, n = 1.

m = 4n = 1

a = 4² − 1² = 15, b = 2(4)(1) = 8, c = 4² + 1² = 17

→ (8, 15, 17) since 64 + 225 = 289 = 17²

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Perguntas Frequentes (FAQ)

Como funciona a ferramenta Teorema de Pitágoras em 2D e 3D — Hipotenusa e Diagonal Espacial?+

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