04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // यूक्लिडीय, निर्देशांक, शांकव और त्रिकोणमितीय नियमc = √(a² + b²) (2D), d = √(a² + b² + h²) (3D Space Diagonal)
2D और 3D आकाश में पाइथागोरस प्रमेय — कर्ण और घनाभ विकर्ण सूत्र
समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कर्ण के संबंध के साथ-साथ त्रि-आयामी (3D) बक्से के आकाशीय विकर्ण का मूल ज्यामितीय नियम।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
c = √(a² + b²) (2D), d = √(a² + b² + h²) (3D Space Diagonal)
अन्य रूप
a = √(c² − b²) (Leg Recovery)
sin²(θ) + cos²(θ) = 1 (Trigonometric Pythagorean Identity)
(m² − n²)² + (2mn)² = (m² + n²)² (Euclid's Pythagorean Triple Generator)
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| d | Diagonal Length √(a² + b² + h²) | m |
| a | Length / Leg a | m |
| b | Width / Leg b | m |
| h | Height h (set 0 for 2D right triangle) | m |
इनपुट और मान
[m]
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गणना का परिणाम (Diagonal Length √(a² + b² + h²))
d =13m
सूत्र की जानकारी और आधार
- Arrange four congruent right triangles of legs a, b and hypotenuse c inside a square of side (a + b).
- The total area (a + b)² = a² + 2ab + b² equals the central tilted square c² plus four triangles 4(½ab) = 2ab, leaving a² + b² = c².
- In 3D, the floor diagonal is f = √(a² + b²), which forms a right triangle with vertical height h so d = √(f² + h²) = √(a² + b² + h²).
हल किए गए उदाहरण
#1: Find the 3D space diagonal of a room measuring 3 m × 4 m × 12 m.
a = 3 mb = 4 mh = 12 m
d = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169
→ d = 13 m (exact integer Pythagorean quadruple)
#2: Generate a primitive Pythagorean triple using Euclid's formula with m = 4, n = 1.
m = 4n = 1
a = 4² − 1² = 15, b = 2(4)(1) = 8, c = 4² + 1² = 17
→ (8, 15, 17) since 64 + 225 = 289 = 17²
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
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