04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // कॉर्पोरेट वित्त, डेरिवेटिव और पोर्टफ़ोलियो सूत्रC = S₀ · N(d₁) − K · e^(−rT) · N(d₂)
ब्लैक-स्कोल्स-मर्टन विकल्प मूल्य निर्धारण सूत्र — कॉल, पुट और ग्रीक्स शीट
यूरोपीय कॉल और पुट ऑप्शंस का उचित बाज़ार मूल्य और जोखिम संवेदनशीलता (Greeks) निकालने का नोबेल-पुरस्कृत सूत्र।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
C = S₀ · N(d₁) − K · e^(−rT) · N(d₂)
अन्य रूप
d₁ = [ ln(S₀ / K) + (r + ½σ²)T ] / (σ √T), d₂ = d₁ − σ √T
P = K · e^(−rT) · N(−d₂) − S₀ · N(−d₁) (European Put via Put-Call Parity)
Δ_call = N(d₁), Δ_put = N(d₁) − 1 (Option Delta Hedge Ratio)
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| C | European Call Option Theoretical Price (C) | USD |
| S0 | Underlying Spot Price (S₀) | USD |
| K | Option Strike Price (K) | USD |
| r | Risk-Free Annual Rate (r) | 1/yr |
| sigma | Annualized Volatility (σ) | 1/√yr |
| T | Time to Expiration (T in years) | yr |
इनपुट और मान
[USD]
[USD]
[1/yr]
[1/√yr]
[yr]
गणना का परिणाम (European Call Option Theoretical Price (C))
C =10.45058USD
सूत्र की जानकारी और आधार
- Model the underlying asset via geometric Brownian motion dS = μS dt + σS dW and apply Itô's Lemma to option value V(S, t).
- Construct a dynamically delta-hedged portfolio Π = V − (∂V/∂S)S that eliminates the stochastic Wiener term dW, forcing dΠ = rΠ dt by no-arbitrage.
- Solve the resulting parabolic Black-Scholes PDE ∂V/∂t + ½σ²S²(∂²V/∂S²) + rS(∂V/∂S) − rV = 0 with terminal payoff max(S_T − K, 0).
हल किए गए उदाहरण
#1: Price an at-the-money 1-year European call option with S₀ = $100, K = $100, r = 5%, and σ = 20%.
S₀ = $100K = $100r = 0.05σ = 0.20T = 1.0 yr
d₁ = (0 + (0.05 + 0.02)×1) / 0.20 = 0.35 ⇒ N(d₁) = 0.6368; d₂ = 0.15 ⇒ N(d₂) = 0.5596
→ C = 100(0.6368) − 100 e^(−0.05)(0.5596) = $10.45 (Put P = $5.57)
#2: Verify Put-Call Parity C − P = S₀ − K e^(−rT) on the option above.
C = $10.4506P = $5.5735K e^(−0.05) = $95.1229
10.4506 − 5.5735 = 4.8771 = 100 − 95.1229
→ Parity holds to $4.88
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