04 // इंटरएक्टिव सूत्र संकलन // सांख्यिकीय वितरण, प्रतिगमन और एन्ट्रॉपी सूत्रf(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
सामान्य (गॉसीय) प्रायिकता घनत्व और Z-स्कोर सूत्र
माध्य μ और मानक विचलन σ द्वारा परिभाषित प्रसिद्ध घंटी के आकार (Bell Curve) का सममित प्रायिकता वितरण सूत्र।
सूत्र संदर्भ
मुख्य सूत्र
f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
अन्य रूप
z = (x − μ) / σ
Φ(z) = ½ · [1 + erf(z / √2)]
चर और इकाइयाँ
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Probability Density f(x) | density | |
| x | Observation x | units |
| mu | Population Mean μ | units |
| sigma | Standard Deviation σ | units |
इनपुट और मान
[units]
[units]
[units]
गणना का परिणाम (Probability Density f(x))
pdf =0.016131density
सूत्र की जानकारी और आधार
- Normalized via the Gaussian integral ∫_{−∞}^{∞} e^(−u²/2) du = √(2π).
- Maximizes differential Shannon entropy among all continuous real distributions with fixed variance σ².
हल किए गए उदाहरण
#1: Standardized score x = 115 on a scale with μ = 100 and σ = 15.
x = 115μ = 100σ = 15
z = (115 − 100)/15 = +1.00; f(115) = (1 / (15√(2π))) · e^(−0.5)
→ z = +1.00, f(115) = 0.01613, cumulative percentile Φ(1.0) = 84.13%
#2: Empirical rule coverage within ±1σ, ±2σ, and ±3σ of the mean.
z = ±1, ±2, ±3
erf(z / √2) evaluated at z = 1, 2, 3
→ 68.27% (±1σ), 95.45% (±2σ), 99.73% (±3σ)
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
सामान्य (गॉसीय) प्रायिकता घनत्व और Z-स्कोर सूत्र ऑनलाइन टूल कैसे काम करता है?+
अपने मान दर्ज करें या स्लाइडर समायोजित करें—यह टूल आपके ब्राउज़र में तुरंत सामान्य (गॉसीय) प्रायिकता घनत्व और Z-स्कोर सूत्र (सूत्र: f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)) की गणना और विज़ुअलाइज़ेशन करता है। माध्य μ और मानक विचलन σ द्वारा परिभाषित प्रसिद्ध घंटी के आकार (Bell Curve) का सममित प्रायिकता वितरण सूत्र।
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क्या मैं सामान्य (गॉसीय) प्रायिकता घनत्व और Z-स्कोर सूत्र में उदाहरण डेटा साफ़ करके शून्य से शुरू कर सकता हूँ?+
हाँ, टूल के ऊपर दिए गए क्लीयर बटन पर क्लिक करके आप सभी इनपुट खाली कर सकते हैं और कभी भी सैंपल डेटा वापस लोड कर सकते हैं।