04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 確率分布・回帰分析・情報エントロピーの公式集f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
正規分布（ガウス分布）の確率密度関数とZスコアの公式
中心極限定理から導かれる左右対称の釣鐘型（ベルカーブ）分布を、平均 μ と標準偏差 σ によって定式化した統計学の最重要分布です。
公式リファレンス
基本公式
f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
変形した式
z = (x − μ) / σ
Φ(z) = ½ · [1 + erf(z / √2)]
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Probability Density f(x) | density | |
| x | Observation x | units |
| mu | Population Mean μ | units |
| sigma | Standard Deviation σ | units |
入力値・パラメータ
[units]
[units]
[units]
計算結果 (Probability Density f(x))
pdf =0.016131density
公式の解説・背景
- Normalized via the Gaussian integral ∫_{−∞}^{∞} e^(−u²/2) du = √(2π).
- Maximizes differential Shannon entropy among all continuous real distributions with fixed variance σ².
具体的な計算例
#1: Standardized score x = 115 on a scale with μ = 100 and σ = 15.
x = 115μ = 100σ = 15
z = (115 − 100)/15 = +1.00; f(115) = (1 / (15√(2π))) · e^(−0.5)
→ z = +1.00, f(115) = 0.01613, cumulative percentile Φ(1.0) = 84.13%
#2: Empirical rule coverage within ±1σ, ±2σ, and ±3σ of the mean.
z = ±1, ±2, ±3
erf(z / √2) evaluated at z = 1, 2, 3
→ 68.27% (±1σ), 95.45% (±2σ), 99.73% (±3σ)
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よくある質問（FAQ）
正規分布（ガウス分布）の確率密度関数とZスコアの公式の使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、正規分布（ガウス分布）の確率密度関数とZスコアの公式（数式: f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。中心極限定理から導かれる左右対称の釣鐘型（ベルカーブ）分布を、平均 μ と標準偏差 σ によって定式化した統計学の最重要分布です。
正規分布（ガウス分布）の確率密度関数とZスコアの公式の計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
正規分布（ガウス分布）の確率密度関数とZスコアの公式のサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。