04 // インタラクティブ数式・公式辞典 // 確率分布・回帰分析・情報エントロピーの公式集P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)
二項分布の確率質量関数の公式
成功確率 p の独立な試行（ベルヌーイ試行）を n 回繰り返したとき、ちょうど k 回成功する離散確率を求める公式です。
公式リファレンス
基本公式
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)
変形した式
E[X] = n · p
Var(X) = n · p · (1 − p)
変数と単位
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| P | Exact Probability P(X = k) | probability (0–1) |
| n | Number of Trials n | trials |
| k | Observed Successes k | successes |
| p | Success Probability p | 0–1 |
入力値・パラメータ
[trials]
[successes]
[0–1]
計算結果 (Exact Probability P(X = k))
P =0.250282probability (0–1)
公式の解説・背景
- Any specific sequence of k successes and n−k failures has probability p^k(1−p)^(n−k), and there are C(n,k) mutually exclusive orderings.
- Sums to 1 by the Binomial Theorem: ∑_{k=0}^n C(n,k) p^k (1−p)^(n−k) = (p + 1 − p)^n = 1.
具体的な計算例
#1: Probability of getting exactly k = 3 heads in n = 10 tosses of a biased coin (p = 0.25).
n = 10k = 3p = 0.25
C(10,3) × (0.25)³ × (0.75)⁷ = 120 × 0.015625 × 0.133484
→ P(X = 3) = 0.2503 (25.03%)
#2: Mean and standard deviation of defective items in a batch of n = 400 with p = 0.02.
n = 400p = 0.02
μ = 400 × 0.02 = 8; σ = √(400 × 0.02 × 0.98) = √7.84
→ μ = 8.0 defects, σ = 2.80 defects
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よくある質問（FAQ）
二項分布の確率質量関数の公式の使い方は？+
数値を入力するかスライダーを動かすだけで、二項分布の確率質量関数の公式（数式: P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k)）をブラウザ上で即座に計算・視覚化できます。成功確率 p の独立な試行（ベルヌーイ試行）を n 回繰り返したとき、ちょうど k 回成功する離散確率を求める公式です。
二項分布の確率質量関数の公式の計算結果やグラフは保存できますか？+
はい。計算結果のワンクリックコピーに加え、高解像度のSVG・PNG画像、CSVデータ、印刷用ワークシートとして即座に出力できます。
二項分布の確率質量関数の公式のサンプルデータを消去して白紙から入力できますか？+
はい。ツール上部のクリア（白紙から開始）ボタンを押すとすべての入力欄がリセットされ、いつでもサンプルデータを再読み込みできます。