04 // Interaktives Formel-Kompendium // FORMELN ZU WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN, REGRESSION & ENTROPIEf(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)

Gaußsche Normalverteilung — Dichtefunktion & Z-Transformation

Formel der symmetrischen Glockenkurve aus dem zentralen Grenzwertsatz, vollständig beschrieben durch Erwartungswert μ und Standardabweichung σ.

Formelübersicht

Hauptformel

f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)

Umgestellte Formen

z = (x − μ) / σ

Φ(z) = ½ · [1 + erf(z / √2)]

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten — Normal (Gaussian) Probability Density & Z-Score Formula
Symbol	Name	Unit
pdf	Probability Density f(x)	density
x	Observation x	units
mu	Population Mean μ	units
sigma	Standard Deviation σ	units

Eingaben & Parameter

xObservation x[units]

muPopulation Mean μ[units]

sigmaStandard Deviation σ[units]

Berechnetes Ergebnis (Probability Density f(x))

pdf =0.016131density

Formelhinweise & Herleitung

Normalized via the Gaussian integral ∫_{−∞}^{∞} e^(−u²/2) du = √(2π).
Maximizes differential Shannon entropy among all continuous real distributions with fixed variance σ².

Durchgerechnete Beispiele

#1: Standardized score x = 115 on a scale with μ = 100 and σ = 15.

x = 115μ = 100σ = 15

z = (115 − 100)/15 = +1.00; f(115) = (1 / (15√(2π))) · e^(−0.5)

→ z = +1.00, f(115) = 0.01613, cumulative percentile Φ(1.0) = 84.13%

#2: Empirical rule coverage within ±1σ, ±2σ, and ±3σ of the mean.

z = ±1, ±2, ±3

erf(z / √2) evaluated at z = 1, 2, 3

→ 68.27% (±1σ), 95.45% (±2σ), 99.73% (±3σ)

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man Gaußsche Normalverteilung — Dichtefunktion & Z-Transformation mit diesem Online-Werkzeug?+

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