04 // Interaktives Formel-Kompendium // FORMELSAMMLUNGEN ZU ANALYSIS, REIHEN & ALGEBRAx = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Mitternachtsformel (abc-Formel) — Nullstellen, Diskriminante & Scheitelpunkt

Übersichtliche Herleitung und Lösungsformel für die Nullstellen jeder quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 mittels quadratischer Ergänzung.

Formelübersicht

Hauptformel

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Umgestellte Formen

Δ = b² − 4ac (Discriminant)

x_vertex = −b / (2a), y_vertex = c − b² / (4a)

x₁ + x₂ = −b / a, x₁ · x₂ = c / a (Vieta's Formulas)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten — Quadratic Formula — Roots, Discriminant & Vertex Reference Sheet
Symbol	Name	Unit
x₁	Principal Root (x₁ = (−b + √Δ) / 2a)	dimensionless
a	Quadratic Coefficient (a ≠ 0)	1
b	Linear Coefficient	1
c	Constant Term (y-intercept)	1

Eingaben & Parameter

aQuadratic Coefficient (a ≠ 0)[1]

bLinear Coefficient[1]

cConstant Term (y-intercept)[1]

Berechnetes Ergebnis (Principal Root (x₁ = (−b + √Δ) / 2a))

x₁ =3dimensionless

Formelhinweise & Herleitung

Divide ax² + bx + c = 0 through by a ≠ 0 to normalize the leading term: x² + (b/a)x = −c/a.
Complete the square by adding (b / 2a)² to both sides: (x + b / 2a)² = (b² − 4ac) / (4a²).
Take the square root of both sides and isolate x to obtain x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).

Durchgerechnete Beispiele

#1: Solve x² − 5x + 6 = 0 for its two real intersections with the x-axis.

a = 1b = −5c = 6

x = (−(−5) ± √((−5)² − 4(1)(6))) / (2 × 1) = (5 ± √(25 − 24)) / 2

→ x₁ = 3, x₂ = 2 (Δ = 1 > 0, two distinct real roots)

#2: Determine the roots of 2x² + 4x − 6 = 0.

a = 2b = 4c = −6

x = (−4 ± √(16 − 4(2)(−6))) / 4 = (−4 ± √64) / 4 = (−4 ± 8) / 4

→ x₁ = 1, x₂ = −3 (Δ = 64)

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechnet man Mitternachtsformel (abc-Formel) — Nullstellen, Diskriminante & Scheitelpunkt mit diesem Online-Werkzeug?+

Geben Sie Ihre bekannten Größen ein oder bewegen Sie die Regler, um Mitternachtsformel (abc-Formel) — Nullstellen, Diskriminante & Scheitelpunkt nach der Gleichung x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) sofort im Browser zu berechnen. Übersichtliche Herleitung und Lösungsformel für die Nullstellen jeder quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 mittels quadratischer Ergänzung.

Kann ich die Ergebnisse und Diagramme von Mitternachtsformel (abc-Formel) — Nullstellen, Diskriminante & Scheitelpunkt exportieren?+

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