04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // فرمول‌های توزیع‌های آماری، رگرسیون و آنتروپی اطلاعاتf(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
فرمول چگالی احتمال توزیع نرمال (گاوسی) و نمره Z
تابع چگالی منحنی زنگوله‌ای حاصل از قضیه حد مرکزی که با میانگین $\mu$ و انحراف معیار $\sigma$ تعریف می‌شود.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²)
فرم‌های بازآرایی‌شده
z = (x − μ) / σ
Φ(z) = ½ · [1 + erf(z / √2)]
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| Probability Density f(x) | density | |
| x | Observation x | units |
| mu | Population Mean μ | units |
| sigma | Standard Deviation σ | units |
ورودی‌ها و پارامترها
[units]
[units]
[units]
نتیجه محاسبه (Probability Density f(x))
pdf =0.016131density
توضیحات و پیشینه فرمول
- Normalized via the Gaussian integral ∫_{−∞}^{∞} e^(−u²/2) du = √(2π).
- Maximizes differential Shannon entropy among all continuous real distributions with fixed variance σ².
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Standardized score x = 115 on a scale with μ = 100 and σ = 15.
x = 115μ = 100σ = 15
z = (115 − 100)/15 = +1.00; f(115) = (1 / (15√(2π))) · e^(−0.5)
→ z = +1.00, f(115) = 0.01613, cumulative percentile Φ(1.0) = 84.13%
#2: Empirical rule coverage within ±1σ, ±2σ, and ±3σ of the mean.
z = ±1, ±2, ±3
erf(z / √2) evaluated at z = 1, 2, 3
→ 68.27% (±1σ), 95.45% (±2σ), 99.73% (±3σ)
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین فرمول چگالی احتمال توزیع نرمال (گاوسی) و نمره Z چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا فرمول چگالی احتمال توزیع نرمال (گاوسی) و نمره Z بر اساس رابطه f(x) = [ 1 / (σ√(2π)) ] · exp(−½ · ((x − μ) / σ)²) به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. تابع چگالی منحنی زنگوله‌ای حاصل از قضیه حد مرکزی که با میانگین $\mu$ و انحراف معیار $\sigma$ تعریف می‌شود.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای فرمول چگالی احتمال توزیع نرمال (گاوسی) و نمره Z را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در فرمول چگالی احتمال توزیع نرمال (گاوسی) و نمره Z پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.