04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // فرمول‌های توزیع‌های آماری، رگرسیون و آنتروپی اطلاعاتP(A | B) = [ P(B | A) · P(A) ] / P(B)

فرمول احتمال شرطی قضیه بیز

به‌روزرسانی باور اولیه $P(A)$ به احتمال پسین دقیق $P(A|B)$ پس از مشاهده شواهد تشخیصی یا آزمایشی جدید $B$.

مرجع فرمول

فرمول اصلی

P(A | B) = [ P(B | A) · P(A) ] / P(B)

فرم‌های بازآرایی‌شده

P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·(1 − P(A))

Posterior Odds = Likelihood Ratio × Prior Odds

متغیرها و واحدها

متغیرها و واحدها — Bayes' Theorem Conditional Probability Formula
Symbol	Name	Unit
post	Posterior Probability P(A\|B)	probability (0–1)
prior	Prior Base Rate P(A)	0–1
sens	Sensitivity P(B\|A)	0–1
fpr	False Positive Rate P(B\|¬A)	0–1

ورودی‌ها و پارامترها

priorPrior Base Rate P(A)[0–1]

sensSensitivity P(B|A)[0–1]

fprFalse Positive Rate P(B|¬A)[0–1]

نتیجه محاسبه (Posterior Probability P(A|B))

post =0.166667probability (0–1)

توضیحات و پیشینه فرمول

By definition of conditional probability, P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A); dividing by marginal P(B) expanded via the Law of Total Probability yields Bayes' rule.
Demonstrates the base-rate fallacy: when prevalence P(A) is rare, even a 99% sensitive / 95% specific test yields a modest single-test positive predictive value.

مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام

#1: Medical screening for a 1% prevalence condition (P(A)=0.01) using a test with 99% sensitivity and 5% false-positive rate (95% specificity).

P(A) = 0.01P(B|A) = 0.99P(B|¬A) = 0.05

P(A|+) = (0.99 × 0.01) / (0.0099 + 0.05 × 0.99) = 0.0099 / 0.0594

→ P(A|+) = 0.1667 (16.67% Positive Predictive Value)

#2: Running a second independent confirmatory test with the same 99% sensitivity / 5% FPR using 16.67% as the updated prior.

Updated Prior = 0.1667

P(A|++) = (0.99 × 0.1667) / (0.1650 + 0.05 × 0.8333) = 0.1650 / 0.2067

→ P(A|++) = 0.7984 (79.84% after two positives)

آیا این ابزار برای شما مفید بود؟

پرسش‌های متداول (FAQ)

ابزار آنلاین فرمول احتمال شرطی قضیه بیز چگونه کار می‌کند؟+

مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا فرمول احتمال شرطی قضیه بیز بر اساس رابطه P(A | B) = [ P(B | A) · P(A) ] / P(B) به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. به‌روزرسانی باور اولیه $P(A)$ به احتمال پسین دقیق $P(A|B)$ پس از مشاهده شواهد تشخیصی یا آزمایشی جدید $B$.

آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای فرمول احتمال شرطی قضیه بیز را دانلود یا چاپ کنم؟+

بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.

آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در فرمول احتمال شرطی قضیه بیز پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+

بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.