04 // Compendium Interactif de Formules // FORMULES DE DISTRIBUTIONS STATISTIQUES, RÉGRESSION ET ENTROPIEP(A | B) = [ P(B | A) · P(A) ] / P(B)

Formule du théorème de Bayes — Probabilité conditionnelle

Met à jour une probabilité initiale P(A) en probabilité révisée P(A|B) à la lumière d'un résultat de test ou d'une nouvelle observation B.

Fiche formule

Formule principale

P(A | B) = [ P(B | A) · P(A) ] / P(B)

Formes équivalentes

P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·(1 − P(A))

Posterior Odds = Likelihood Ratio × Prior Odds

Variables et unités

Variables et unités — Bayes' Theorem Conditional Probability Formula
Symbol	Name	Unit
post	Posterior Probability P(A\|B)	probability (0–1)
prior	Prior Base Rate P(A)	0–1
sens	Sensitivity P(B\|A)	0–1
fpr	False Positive Rate P(B\|¬A)	0–1

Valeurs et paramètres

priorPrior Base Rate P(A)[0–1]

sensSensitivity P(B|A)[0–1]

fprFalse Positive Rate P(B|¬A)[0–1]

Résultat calculé (Posterior Probability P(A|B))

post =0.166667probability (0–1)

Explications et origine de la formule

By definition of conditional probability, P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A); dividing by marginal P(B) expanded via the Law of Total Probability yields Bayes' rule.
Demonstrates the base-rate fallacy: when prevalence P(A) is rare, even a 99% sensitive / 95% specific test yields a modest single-test positive predictive value.

Exemples détaillés

#1: Medical screening for a 1% prevalence condition (P(A)=0.01) using a test with 99% sensitivity and 5% false-positive rate (95% specificity).

P(A) = 0.01P(B|A) = 0.99P(B|¬A) = 0.05

P(A|+) = (0.99 × 0.01) / (0.0099 + 0.05 × 0.99) = 0.0099 / 0.0594

→ P(A|+) = 0.1667 (16.67% Positive Predictive Value)

#2: Running a second independent confirmatory test with the same 99% sensitivity / 5% FPR using 16.67% as the updated prior.

Updated Prior = 0.1667

P(A|++) = (0.99 × 0.1667) / (0.1650 + 0.05 × 0.8333) = 0.1650 / 0.2067

→ P(A|++) = 0.7984 (79.84% after two positives)

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Questions Fréquemment Posées

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