04 // 인터랙티브 공식 백과사전 // 확률 분포·회귀분석 및 정보 엔트로피 공식집P(A | B) = [ P(B | A) · P(A) ] / P(B)
베이즈 정리 조건부 확률 공식
진단 검사나 실험, 분류 데이터에서 새로운 증거 B를 관측했을 때 사전 확률 P(A)을 정확한 사후 확률 P(A|B)로 갱신하는 공식입니다.
공식 요약
기본 공식
P(A | B) = [ P(B | A) · P(A) ] / P(B)
변형 공식
P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·(1 − P(A))
Posterior Odds = Likelihood Ratio × Prior Odds
변수 및 단위
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| post | Posterior Probability P(A|B) | probability (0–1) |
| prior | Prior Base Rate P(A) | 0–1 |
| sens | Sensitivity P(B|A) | 0–1 |
| fpr | False Positive Rate P(B|¬A) | 0–1 |
입력값 및 설정
[0–1]
[0–1]
[0–1]
계산 결과 (Posterior Probability P(A|B))
post =0.166667probability (0–1)
공식 설명 및 배경
- By definition of conditional probability, P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A); dividing by marginal P(B) expanded via the Law of Total Probability yields Bayes' rule.
- Demonstrates the base-rate fallacy: when prevalence P(A) is rare, even a 99% sensitive / 95% specific test yields a modest single-test positive predictive value.
단계별 풀이 예제
#1: Medical screening for a 1% prevalence condition (P(A)=0.01) using a test with 99% sensitivity and 5% false-positive rate (95% specificity).
P(A) = 0.01P(B|A) = 0.99P(B|¬A) = 0.05
P(A|+) = (0.99 × 0.01) / (0.0099 + 0.05 × 0.99) = 0.0099 / 0.0594
→ P(A|+) = 0.1667 (16.67% Positive Predictive Value)
#2: Running a second independent confirmatory test with the same 99% sensitivity / 5% FPR using 16.67% as the updated prior.
Updated Prior = 0.1667
P(A|++) = (0.99 × 0.1667) / (0.1650 + 0.05 × 0.8333) = 0.1650 / 0.2067
→ P(A|++) = 0.7984 (79.84% after two positives)
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자주 묻는 질문 (FAQ)
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