فرمول‌های فیزیک، مالی، حسابان و مهندسی را همراه با محاسبه‌گر زنده، اثبات و مثال‌های حل‌شده بیاموزید.
راه‌حل جبری بسته برای یافتن ریشه‌های هر معادله چندجمله‌ای درجه دوم $ax^2 + bx + c = 0$ که از روش مربع کامل استخراج می‌شود.
بسط جبری توان‌های دوجمله‌ای $(a + b)^n$ به مجموع $n + 1$ جمله وزن‌دهی‌شده با ضرایب ترکیبیاتی $C(n, k)$.
نمایش یک تابع هموار و مشتق‌پذیر $f(x)$ در همسایگی نقطه $x = a$ به‌صورت سری توانی نامتناهی ساخته‌شده از مشتق‌های متوالی آن.
تبدیل انتگرال حاصل‌ضرب دو تابع به یک انتگرال ساده‌تر از طریق معکوس کردن قاعده مشتق ضرب در حساب دیفرانسیل.
پیونددهنده حساب دیفرانسیل و انتگرال با اثبات اینکه انتگرال‌گیری معین دقیقاً عملگر وارون مشتق‌گیری است.
پیونددهنده توابع نمایی مختلط با امواج مثلثاتی سینوس و کسینوس روی دایره واحد در صفحه مختلط.
محاسبه جمله $n$ام و مجموع دقیق جملات یک دنباله حسابی با گام ثابت $d$.
فرمول بسته مجموع $n$ جمله اول یک تصاعد هندسی با قدر نسبت $r$، به همراه مجموع سری نامتناهی همگرا برای $|r| < 1$.
مرجع کامل قوانین ضرب، تقسیم، توان و تغییر پایه در لگاریتم طبیعی (ln)، دودویی ($\log_2$) و دهگانی ($\log_{10}$).
قواعد بنیادی مشتق‌گیری برای توابع مرکب، حاصل‌ضرب، خارج‌قسمت و توابع توانی در حساب تک‌متغیره و چندمتغیره.
تعمیم قضیه فیثاغورس به هر مثلث دلخواه با افزودن جمله تصویر کسینوسی $-2ab\cos(C)$.
بیان می‌کند نسبت طول هر ضلع مثلث به سینوس زاویه روبه‌روی آن مقداری ثابت و برابر با قطر دایره محیطی $2R$ است.
محاسبه دقیق مساحت، ارتفاع‌ها و شعاع دایره‌های محاطی و محیطی مثلث مستقیماً از روی سه ضلع $a, b, c$ بدون نیاز به زاویه.
روابط فاصله اقلیدسی، مختصات نقطه میانی پاره‌خط و شیب خط گذرنده از دو نقطه $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$.
معادلات هندسه تحلیلی دایره و بیضی شامل مرکز $(h, k)$، نیم‌قطرهای بزرگ و کوچک، خروج از مرکز، کانون‌ها، مساحت و تقریب محیط رامانوجان.
رابطه بنیادی اضلاع عمود بر هم با وتر در مثلث قائم‌الزاویه و قطر درونی مکعب‌مستطیل سه‌بعدی.
فرمول‌های هندسه فضایی ارشمیدس برای مقایسه و محاسبه حجم و مساحت جانبی و کل کره، استوانه قائم و مخروط.
ارتباط شعاع دایره $r$ و زاویه مرکزی $\theta$ با طول کمان $s$، مساحت قطاع، طول وتر، خیز کمان و مساحت قطعه دایره.
مرجع کامل روابط مثلثاتی شامل مجموع و تفاضل دو زاویه، دو برابر زاویه، نصف زاویه و کاهش توان.
محاسبه کوتاه‌ترین فاصله سطحی میان دو مختصات عرض و طول جغرافیایی روی کره‌ای به شعاع $R$ (شعاع میانگین زمین $R = 6,371\text{ km}$).
محاسبه ارزش انباشته آتی $A$ از اصل سرمایه $P$ با $n$ بار ترکیب در سال و نرخ سود اسمی $r$ طی $t$ سال.
تنزیل رشته‌ای از $n$ پرداخت دوره‌ای مساوی $PMT$ با نرخ دوره‌ای $r$ برای یافتن ارزش یکجای فعلی آن $PV$.
معادله دیفرانسیل برنده جایزه نوبل برای قیمت‌گذاری اختیار خرید و فروش اروپایی تحت حرکت براونی هندسی به همراه ضرایب حساسیت.
پیونددهنده بازده مورد انتظار دارایی $E(R_i)$ به نرخ بدون ریسک $R_f$، ریسک سیستماتیک بتا $\beta_i$ و صرف ریسک بازار سهام.
ترکیب هزینه حقوق صاحبان سهام $R_e$ و هزینه بدهی پس از مالیات $R_d(1 - T_c)$ متناسب با وزن بازار ساختار سرمایه شرکت.
تجزیه بازده حقوق صاحبان سهام (ROE) به سه محرک کلیدی: سودآوری (حاشیه سود خالص)، کارایی دارایی (گردش دارایی) و اهرم مالی.
سنجش ارزش افزوده خالص به پول امروز با تنزیل جریان‌های نقدی آتی پروژه $CF_t$ با نرخ $r$ و کسر سرمایه‌گذاری اولیه $C_0$.
ارزش‌گذاری سهام شرکت‌های بالغ یا جریان نقدی پایانی که تا بی‌نهایت با نرخ ثابت $g < r$ رشد می‌کند.
شاخص برنده نوبل ویلیام شارپ برای سنجش بازده مازاد سبد سرمایه‌گذاری به ازای هر واحد نوسان کل ریسک $\sigma_p$.
فرمول نظریه اطلاعات برای تعیین کسر بهینه سرمایه $f^*$ در موقعیت‌های دارای امید ریاضی مثبت جهت بیشینه‌سازی رشد بلندمدت.
ارتباط نیروی خالص خارجی $F_{net}$ وارد بر جرم $m$ با شتاب $a$ و چهار معادله سینماتیکی حرکت با شتاب ثابت.
قانون عکس مجذور فاصله حاکم بر نیروی جاذبه، شتاب گرانش سطحی $g$، سرعت مدار دایره‌ای، سرعت گریز و قانون سوم کپلر.
بیان می‌کند در سامانه‌های پایستار بدون اصطکاک، مجموع انرژی جنبشی $K$ و انرژی پتانسیل $U$ همواره ثابت می‌ماند.
ارتباط کار مکانیکی $W = F \cdot d \cos(\theta)$ انجام‌شده روی جسم با تغییر دقیق انرژی جنبشی $\Delta K$ و توان لحظه‌ای $P = F \cdot v$.
پیونددهنده ضربه نیرو در زمان $J = F_{avg} \Delta t$ با تغییر تکانه $\Delta p$ و قوانین حاکم بر برخوردهای الاستیک و غیراستاتیک.
معادلات پایه مدارهای الکتریکی میان ولتاژ $V$، جریان $I$، مقاومت $R$، توان مصرفی $P$ و قوانین گره و حلقه کیرشهف.
روابط عکس مجذور فاصله برای نیروی الکتریکی، میدان الکتریکی $E$ و پتانسیل $V$ میان بارهای نقطه‌ای در خلأ یا دی‌الکتریک.
توصیف تولید ولتاژ القایی در ژنراتورها، ترانسفورماتورها، سلف‌ها و شارژرهای بی‌سیم بر اثر تغییرات زمانی شار مغناطیسی $\Phi_B$.
وحدت‌بخش الکتریسیته، مغناطیس و نور از طریق چهار معادله ماکسول، سرعت انتشار موج $c = f\lambda$ و انرژی فوتون پلانک $E = hf$.
معادلات نسبیت خاص برای ضریب لورنتس $\gamma$، انرژی سکون $E_0 = mc^2$، انرژی جنبشی نسبیتی، اتساع زمان و انقباض طول.
بیانگر پایستگی انرژی مکانیکی در طول خط جریان پایای یک سیال تراکم‌ناپذیر و ارتباط فشار استاتیک، فشار سرعت و هد ارتفاع.
نسبت بی‌بعد نیروهای اینرسی به نیروهای برشی لزجت برای پیش‌بینی جریان آرام، گذرا یا متلاطم در لوله‌ها و لایه‌های مرزی.
معادله جامع مهندسی هیدرولیک برای محاسبه افت هد اصطکاکی و افت فشار در طول لوله‌های مستقیم تحت فشار.
جواب تحلیلی دقیق معادلات ناویه-استوکس برای دبی حجمی جریان آرام و پایا در یک لوله استوانه‌ای.
فرمول مکانیک سازه برای تعیین بار فشاری محوری که در آن یک ستون لاغر ناگهان دچار کمانش جانبی می‌شود.
رابطه بنیادی مقاومت مصالح که لنگر خمشی داخلی $M$ را به توزیع تنش عمودی در سطح مقطع متقارن تیر پیوند می‌دهد.
محاسبه تنش برشی پیچشی و زاویه پیچش در شفت‌های انتقال قدرت توپر یا توخالی تحت گشتاور مکانیکی.
تعیین فرکانس نیم‌توان $-3\text{ dB}$، جابه‌جایی فاز و ثابت زمانی پاسخ پله در فیلترهای آنالوگ مرتبه اول RC.
ارتباط فشار مطلق، حجم، مقدار مول و دمای کلوین گازهای رقیق توسط ثابت جهانی گازها $R = 8.31446\text{ J/(mol}\cdot\text{K)}$.
توصیف حساسیت نمایی ثابت سرعت واکنش شیمیایی $k$ نسبت به سد انرژی فعال‌سازی $E_a$ و دمای مطلق $T$.
محاسبه pH محلول‌های بافری اسید ضعیف و باز مزدوج و همچنین تعادل بی‌کربنات در فیزیولوژی خون.
تعیین ولتاژ مدار باز پیل و نیم‌واکنش‌های اکسایش-کاهش در شرایط غیراستاندارد و نیز پتانسیل تعادلی غشای سلولی.
معیار بنیادین ترمودینامیک شیمیایی برای تشخیص خودبه‌خودی بودن واکنش، حداکثر کار مفید و ثابت تعادل در دما و فشار ثابت.
سقف نهایی بازده گرمایی طبق قانون دوم ترمودینامیک برای هر موتور حرارتی بین منبع گرم $T_H$ و منبع سرد $T_C$ بر حسب کلوین.
معادله شیمی تجزیه که جذب نوری $A$ را به‌صورت خطی به ضریب جذب مولی $\varepsilon$، طول مسیر نوری $l$ و غلظت مولی $c$ مرتبط می‌کند.
به‌روزرسانی باور اولیه $P(A)$ به احتمال پسین دقیق $P(A|B)$ پس از مشاهده شواهد تشخیصی یا آزمایشی جدید $B$.
تابع چگالی منحنی زنگوله‌ای حاصل از قضیه حد مرکزی که با میانگین $\mu$ و انحراف معیار $\sigma$ تعریف می‌شود.
احتمال گسسته دقیق مشاهده $k$ موفقیت در $n$ آزمایش مستقل برنولی که احتمال موفقیت هر کدام $p$ است.
مدل‌سازی تعداد رخدادهای مستقل در یک بازه ثابت زمانی یا مکانی با نرخ میانگین وقوع $\lambda$.
اندازه‌گیری همبستگی خطی بی‌بعد $r \in [-1, +1]$ و استخراج ضرایب خط رگرسیون با کمترین مجموع مربعات خطا.
سنجش دقت برآورد میانگین نمونه $\bar{x}$ توسط خطای استاندارد $s/\sqrt{n}$ و ساخت بازه‌های اطمینان آماری.
معادلات پایه نظریه اطلاعات برای حداقل بیت لازم در فشرده‌سازی بی‌اتلاف هر نماد $H(X)$ و بیشینه ظرفیت کانال نویزی $C$.