04 // مجموعه تعاملی فرمول‌های علمی // فرمول‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال، سری‌ها و اتحادهای جبری∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال (بخش ۱ و ۲) — برگه مرجع
پیونددهنده حساب دیفرانسیل و انتگرال با اثبات اینکه انتگرال‌گیری معین دقیقاً عملگر وارون مشتق‌گیری است.
مرجع فرمول
فرمول اصلی
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
فرم‌های بازآرایی‌شده
d/dx [ ∫_a^x f(t) dt ] = f(x) (FTC Part 1)
d/dx [ ∫_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt ] = f(h(x))·h'(x) − f(g(x))·g'(x) (Leibniz Rule)
f_avg = [ 1 / (b − a) ] · ∫_a^b f(x) dx (Mean Value for Integrals)
متغیرها و واحدها
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx | dimensionless |
| a | Lower Limit of Integration (a) | 1 |
| b | Upper Limit of Integration (b) | 1 |
| c | Coefficient (c) | 1 |
| n | Power Exponent (n ≠ −1) | 1 |
ورودی‌ها و پارامترها
[1]
[1]
[1]
[1]
نتیجه محاسبه (Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx)
I =8.666667dimensionless
توضیحات و پیشینه فرمول
- Partition [a, b] into subintervals [x_{i−1}, x_i] and express F(b) − F(a) as a telescoping sum Σ [F(x_i) − F(x_{i−1})].
- Apply the Mean Value Theorem on each subinterval: F(x_i) − F(x_{i−1}) = F'(c_i) Δx_i = f(c_i) Δx_i.
- Take the limit as max Δx_i → 0 so the Riemann sum Σ f(c_i) Δx_i converges to ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
مثال‌های حل‌شده گام‌به‌گام
#1: Compute the exact area under f(x) = x² from a = 1 to b = 3.
f(x) = x²Antiderivative F(x) = x³ / 3a = 1, b = 3
∫₁³ x² dx = F(3) − F(1) = 3³/3 − 1³/3 = 27/3 − 1/3
→ 26/3 ≈ 8.66667
#2: Find the derivative d/dx [ ∫₁^(x²) cos(t) dt ] using FTC Part 1 and the Chain Rule.
f(t) = cos(t)Upper limit h(x) = x² ⇒ h'(x) = 2x
d/dx = f(h(x)) · h'(x) = cos(x²) · (2x)
→ 2x cos(x²)
آیا این ابزار برای شما مفید بود؟
پرسش‌های متداول (FAQ)
ابزار آنلاین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال (بخش ۱ و ۲) — برگه مرجع چگونه کار می‌کند؟+
مقادیر معلوم را وارد کنید یا لغزنده‌ها را تغییر دهید تا قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال (بخش ۱ و ۲) — برگه مرجع بر اساس رابطه ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x) به‌صورت درجا در مرورگر شما محاسبه و ترسیم شود. پیونددهنده حساب دیفرانسیل و انتگرال با اثبات اینکه انتگرال‌گیری معین دقیقاً عملگر وارون مشتق‌گیری است.
آیا می‌توانم نتایج و نمودارهای قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال (بخش ۱ و ۲) — برگه مرجع را دانلود یا چاپ کنم؟+
بله، می‌توانید به‌راحتی خروجی SVG، PNG، CSV دریافت کنید یا کاربرگ را چاپ نمایید.
آیا می‌توانم داده‌های نمونه را در قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال (بخش ۱ و ۲) — برگه مرجع پاک کنم و از صفحه خالی شروع کنم؟+
بله، با کلیک روی دکمه پاک‌سازی در بالای ابزار می‌توانید تمام ورودی‌ها را خالی کنید یا هر زمان دوباره داده‌های نمونه را بارگذاری نمایید.