04 // Kompendium Rumus Interaktif // KUMPULAN RUMUS KALKULUS, DERET & IDENTITAS ALJABAR∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
Teorema Dasar Kalkulus (Bagian 1 & Bagian 2) — Lembar Referensi
Menyatukan kalkulus diferensial dan integral dengan membuktikan bahwa integral tentu merupakan kebalikan eksak dari operasi turunan.
Ringkasan Rumus
Rumus Utama
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x)
Bentuk Turunan
d/dx [ ∫_a^x f(t) dt ] = f(x) (FTC Part 1)
d/dx [ ∫_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt ] = f(h(x))·h'(x) − f(g(x))·g'(x) (Leibniz Rule)
f_avg = [ 1 / (b − a) ] · ∫_a^b f(x) dx (Mean Value for Integrals)
Variabel & Satuan
| Symbol | Name | Unit |
|---|---|---|
| I | Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx | dimensionless |
| a | Lower Limit of Integration (a) | 1 |
| b | Upper Limit of Integration (b) | 1 |
| c | Coefficient (c) | 1 |
| n | Power Exponent (n ≠ −1) | 1 |
Input & Parameter
[1]
[1]
[1]
[1]
Hasil Perhitungan (Definite Power Integral ∫_a^b c·xⁿ dx)
I =8.666667dimensionless
Catatan & Penjelasan Rumus
- Partition [a, b] into subintervals [x_{i−1}, x_i] and express F(b) − F(a) as a telescoping sum Σ [F(x_i) − F(x_{i−1})].
- Apply the Mean Value Theorem on each subinterval: F(x_i) − F(x_{i−1}) = F'(c_i) Δx_i = f(c_i) Δx_i.
- Take the limit as max Δx_i → 0 so the Riemann sum Σ f(c_i) Δx_i converges to ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
Contoh Soal & Pembahasan
#1: Compute the exact area under f(x) = x² from a = 1 to b = 3.
f(x) = x²Antiderivative F(x) = x³ / 3a = 1, b = 3
∫₁³ x² dx = F(3) − F(1) = 3³/3 − 1³/3 = 27/3 − 1/3
→ 26/3 ≈ 8.66667
#2: Find the derivative d/dx [ ∫₁^(x²) cos(t) dt ] using FTC Part 1 and the Chain Rule.
f(t) = cos(t)Upper limit h(x) = x² ⇒ h'(x) = 2x
d/dx = f(h(x)) · h'(x) = cos(x²) · (2x)
→ 2x cos(x²)
Apakah alat ini membantu Anda?
Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)
Bagaimana cara menggunakan alat Teorema Dasar Kalkulus (Bagian 1 & Bagian 2) — Lembar Referensi ini?+
Masukkan nilai parameter atau geser kontrol untuk menghitung dan memvisualisasikan Teorema Dasar Kalkulus (Bagian 1 & Bagian 2) — Lembar Referensi dengan rumus ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F'(x) = f(x) secara instan di browser Anda. Menyatukan kalkulus diferensial dan integral dengan membuktikan bahwa integral tentu merupakan kebalikan eksak dari operasi turunan.
Apakah hasil dari Teorema Dasar Kalkulus (Bagian 1 & Bagian 2) — Lembar Referensi bisa diunduh atau dicetak?+
Ya! Alat ini mendukung ekspor grafik SVG/PNG resolusi tinggi, salin data CSV, serta cetak lembar kerja lengkap.
Bisakah saya menghapus data contoh di Teorema Dasar Kalkulus (Bagian 1 & Bagian 2) — Lembar Referensi dan mulai dari kosong?+
Ya. Klik tombol kosongkan di bagian atas alat untuk memulai dengan kanvas bersih, atau muat ulang data contoh kapan saja.